[Turkmath:5548] Sullivan'ın Sözlüğü ve Perelman'la dansı

[Mustafa Kalafat]

Herkese yeniden selamlar...


Turgut ve Ergün hocalara Dennis'in pür topolojik yönüyle
ilgili verdikleri detaylı bilgiler için çok çok teşekkürler.
Tabi bu arada bahsettikler 1970 MIT ders notları 40 seneye
yakın bir süre daktilo olarak elden ele dolaştı. Verdikleri
link kendileri gibi konuyu bilenler için oldukça yeni sayılır. :)

Bunlar tabi kendi onayından geçtiği için aslına uygun
olarak dizilmiştir muhakkak. Fakat genel olarak
Dennis o daktilo notların da hastasıdır.
Bizlerden Milnor'un daktilo orjinal Karakteristik Sınıf kitabını
kütüphanesinden çıkartıp onu çalışmamızı istemişti.
Sonradan gelenler bunu bozdular aslı budur daha iyidir
diye de eklemeyi ihmal etmedi. :)
Amerikada kütüphanelerde birçok matematikçinin daktilo ders
notları mevcuttur. Bunlar internet ortamına dökülmemiştir çoğu zaman.
Milnor'un differentiable structures serisinden başka notları da mevcuttu,
Morganın da bu mevzularda güzel notları olduğunu hatırlarım.

Stonybrook nihayet Sullivan'ın külliyatını indirilebilir
halde websitesine koyma hizmeti sağlamış:

  https://www.math.stonybrook.edu/~dennis/publications/

konulara göre de listelenmiş makaleler.
Şu renkliliğe bir bakar mısınız !
Çok farklı alanlarda çalışmalar olduğu gibi,
aynı konuda dahi olsa makalelerin de çoğunluğu
hiçbirşekilde birbirine benzemiyor.
Buradan, kullanılan tekniklerin çeşitliliğine pay çıkarmak mümkün.

Pür topoloji(Homotopi teori diyelim) dışında bile
70 in üzerinde makale bulmak mümkün.

İkibinlerin başlarında, departmana ilk geldiğimde
bölümün enstitüsü olan IMS'in başında Milnor vardı.
Onun ve IMSin ana teması dinamik sistemler üzerineydi.
Resmi olarak verdiği son dönemki derse katılma fırsatı bulduğumda
Sullivan'ın yeniden popülerleştirdiği alan olan
"1-dimensional complex dynamics" anlatıyordu.
O sıralar bu konuda yazdığı kitabının ilk baskısı çıkmıştı
revizyonlarını yapıyordu, günümüzde temel kaynak olan bu kitapta
Sullivan'ın resultlarına da 1 chapter ve 1 appendix ayırmış.

Bölüme geldiğimde Sullivan'ın adı
Dinamik sistemler, Measure teori, Analiz vb ile anılıp
neredeyse tüm seminerlere ön koltuktan katılıp
konuşmacılara sürekli soru sormasıyla tanınırdı.
Kirby'nin bir yazısında ondan "topolojist" olarak bahsettiğini
okuduğumda "bu herif nasıl topolojici ola ki ?"
diye düşündüğümü hatırlarım.

Sullivan'ın seminer tutkusuyla ilgili bir hatıra
da şöyle gerçekleşti: Dediğim gibi ilgi alanlarına yakın hiçbir semineri
kaçırmaz ki ilgi alanları da epey geniş idi.
Beli ağrıdığı günlerde bile seminerleri ihmal etmez,
okula gelir, hatta birgün beni öndeki 2-3lü kanepe uzunluğundaki koltuktan
kaldırıp "Çekil oradan, I am gonna lay down here"
deyip oraya uzandığını ve pekçok konuşmayı da o şekilde
yatarak dinlediğini bilirim.  :)

İlgi alanlarının genişliğini tasvir etmek adına,
geçtiğimiz haftalarda benim de konuşmacı olduğum bir
Diferansiyel Geometri konferansında dahi:

  https://www.igt.uni-stuttgart.de/workshop-2022/

enaz 3 konuşmada ismi geçti ve resultlarını kullandılar.

Bugün bahsedeceğim matematiksel katkısı ise
daha çok fikirleri/vizyonu hakkında.
Matematikçiler 2 tipdir:
bir kısmı fikirleri saçıp geliştirir, yol haritası ortaya atarlar,
diğer bir kısmı da problem çözücüdür,
yani o fikirleri ispatlayıp hayata döker.
Aslında her matematikçi bu iki tipin belli oranlarda sentezidir.
Thurston mesela bariz bir fikir adamıdır,
fikirleriyle dünyayı ve Milnor'u büyülemiştir.
Hamilton ise problem çözücü olarak Thurston'un fikirlerinin
nasıl gerçekleşeceğini göstermiştir,
Perelman ise problem çözümünü bir ileri noktaya taşıyıp
Hamiltonun da bitirmediği kısımları bitirmiştir.
Güçlü yönlerini sıraladığımız bu adamları elbette
kendimizle mukayese etmemiz mümkün değil,
hem fikir hem problem çözücü olarak bizden üstünler.

1985 Annals makalesinde Sullivan ortaya sözlüğünü atarak,
göçebe olmayan parçalar teoremi ispatının
fikri altyapısını şöyle ortaya koymuştur:

Riemann küresi üzerindeki rasyonel maplerin iterasyonu
(peşpeşe uygulanması) yani dinamiği ile
Kleinian gurupların, yani PSL(2,C) nin ayrık altgurupları
arasındaki analojileri tarif eder.

Örneğin rasyonel fonksiyonun Julia kümesi,
Klein gurubunun limit kümesine;
Fatou kümesi ise süreksiz kümeye karşılık getirilir.

PSL(2,C) elemanları hiperbolik uzayın izometrilerini
verdiği gibi, ona kenar olacak bir Riemann küresini de
konformal dönüştürür. Sözlükteki bazı maddeler:

tüm fonksiyon -->  genel Klein gurubu
Blaschke çarpımı --> genel Fuchsian gurubu
rasyonel dönüşüm(polinom kesri) R --> sonlu jenaratörlü Klein gurubu
dönüşümün derecesi --> Klein gurubunun jenaratör sayısı
stabil bölge --> süreksizlik bölgesi
R nin periyodik noktaları --> Klein gurubunun fiks noktaları

bu liste uzar gider.
Kavramlar olduğu kadar teoremlerin de karşılıkları mevcuttur.
Örneğin Ölçümlü Riemann mapping teoremi her iki tarafta
da önemli bir araçtır.

Sullivan'ın ispatladığı göçebe olmayan parçalar teoreminin
Klein guruplarındaki karşılığı da Ahlforsun bir teoremidir.
O teorem de aslında limit kümesinde göçebe parça olmadığını söylemektedir,
yani onu kendine götüren bir gurup elemanı her zaman mevcuttur.
(sonlu jeneratörlü guruplarda)

Klein gurubunun konformal kenarı,
süreksiz bölgeyi gurupla bölerek elde edilir
ve Riemann yüzeyidir. Çünkü açık bir kümeyi
konformal otomorfizmalarla bölerek oluşturulmuştur.
Bu kenar tek bir hiperbolik metrik kabul eder.
Poincare metrik guruba göre invaryant kaldığından
kenar da hiperbolik bir yüzey demektir.
Ahlfors sonluluk teoreminde ise sonlu jenaratör durumunda
bu konformal kenarın hiperbolik metrikle ölçülen alanının
sonlu olduğunu ispatlar. Sullivan, ortaya attığı göçebe olmayan parçalar
teknikleriyle bu teoremin de yeni bir ispatını vermiştir.

Bu makale serisinde, kendisi de defalarca uygulayarak gösterdiği gibi,
sonrasında da Sullivan sözlüğü analojilerle
her iki tarafta da yeni teorem ve ispatlarına
yol haritası olmuş ve hala olagelmektedir.

Norveç Hükümeti Abel ödülü dolayısıyla Dennis'e
7.5 million Kron, yani yaklaşık 860bin dolar ödeme yapacak.
Ergün hocanın kurduğu, doların artmasıyla matematik yapmanın zorlaşması
denklemini dikkate aldığımızda bu paranın Dennis'e
bu yaşta nasıl bir doping yapacağını
hep beraber gözlemleyeceğiz. :)

2003 senesinde yine bu gibi bir Nisan ayında bölümü ziyarete
gelen Perelman ile Sullivan'ın münasebetlerini yazmak için
mesaj artık yeterince uzun olduğundan, merak edenler için
onu başka bir yazıya bırakma kararı almak durumunda kaldım.

herkese iyi çalışmalar...

Doç. Dr. Mustafa Kalafat





Referans:

Sullivan, Dennis - Quasiconformal homeomorphisms and dynamics. I.
Solution of the Fatou-Julia problem on wandering domains.
Ann. of Math. (2) 122 (1985), no. 3, 401–418.



 |Mustafa Kalafat -------------------------------------------------
 |    Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn   |
 |    Office: Endenicher Allee 60, Zimmer 1.036           |
 |    Email: kalafat at math.uni-bonn.de                         |
 |    Web  : http://kalafat.droppages.com/                    |
 ---------------------------------------------------------------------|