<html><body><div style="font-family: arial, helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: #000000"><div><br></div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div> Merhaba Burak hocam,</div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div> Gereğinden kısa tuttuğunuz yanıtınız için çok teşekkürler. ''p ise q'' önermesinin doğruluk değeri için aşağıdaki gibi dolambaçlı bir fikir yürüttüm. Bu tür önermelenin doğruluk </div><div> değerinin kullanılmasında bir tedirginlik yaşıyor musuz?</div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div> Selamlar,</div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div> Zafer. </div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div><!--StartFragment--><div style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><div class="" dir="auto" style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><div class="x1iorvi4 x1pi30zi x1swvt13 xjkvuk6" data-ad-comet-preview="message" data-ad-preview="message" id=":rr:" style="padding: 4px 16px; font-family: inherit;" data-mce-style="padding: 4px 16px; font-family: inherit;"><div class="x78zum5 xdt5ytf xz62fqu x16ldp7u" style="display: flex; flex-direction: column; margin-top: -5px; margin-bottom: -5px; font-family: inherit;" data-mce-style="display: flex; flex-direction: column; margin-top: -5px; margin-bottom: -5px; font-family: inherit;"><div class="xu06os2 x1ok221b" style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; font-family: inherit;" data-mce-style="margin-top: 5px; margin-bottom: 5px; font-family: inherit;"><div class="x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r x1vvkbs xtlvy1s x126k92a" style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;" data-mce-style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;"><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;">Hiçbir kimse uçak kullanmayı bilmeyen birinin kullandığı uçağa binmez. Ama bu davranışın "doğru" ya da "yanlış" olduğu da kanıtlanamaz!</div></div><div class="x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r x1vvkbs xtlvy1s x126k92a" style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;" data-mce-style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;"><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;">"Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa kullandığı uçağı düşürür" doğru ama (uçak kullanmayı bilmeyen birinin uçağı kullanmasının doğru olmayacağı varsayımı altında) "Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa uçağı Ankara'dan New York'a başarılı bir biçimde uçurur" niye doğru? :</div></div><div class="x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r x1vvkbs xtlvy1s x126k92a" style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;" data-mce-style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;"><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;">p ve <span style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><a style="color: #385898; cursor: pointer; text-decoration: none; font-family: inherit;" data-mce-style="color: #385898; cursor: pointer; text-decoration: none; font-family: inherit;" data-mce-tabindex="-1"></a></span>q iki önerme (yani doğru ya da yanlış olarak ifade edilen değerlerden sadece birini alan semboller) "p ise q" diye bir başka önerme üretir. Bu üretilen önermenin değeri p ve q'nın aldıkları değerlere bağlı olup, yanlış değer aldığının "kanıtlanamadığı" durum söz konusu olabilmekte ve bu durumda, bu önermenin değeri doğru kabul edilmektedir. Bu, günümüz hukukundaki "suçluluğu kanıtlanıncaya kadar suçsuzdur" ilkesine uyumludur.</div></div><div class="x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r x1vvkbs xtlvy1s x126k92a" style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;" data-mce-style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;"><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;">Ne demek istediğim "ne eker isen onu biçersin" üzerinden anlamlaştırılabiliniyor.</div></div><div class="x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r x1vvkbs xtlvy1s x126k92a" style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;" data-mce-style="margin: 0.5em 0px 0px; overflow-wrap: break-word; white-space: pre-wrap; font-family: inherit;"><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;">Ama tuhaf durum da ortaya çıkıyor, örneğin pilotluk eğitimi almamış bir kişinin uçağı doğru bir şekilde uçurmuş olması ya da düşürmüş olması "doğru" oluyor.</div><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;"><br data-mce-bogus="1"></div><div dir="auto" style="font-family: inherit; text-align: start;" data-mce-style="font-family: inherit; text-align: start;"><br data-mce-bogus="1"></div></div></div></div></div></div></div><div style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><div class="x168nmei x13lgxp2 x30kzoy x9jhf4c x6ikm8r x10wlt62" data-visualcompletion="ignore-dynamic" style="border-radius: 0px 0px 8px 8px; overflow: hidden; font-family: inherit;" data-mce-style="border-radius: 0px 0px 8px 8px; overflow: hidden; font-family: inherit;"><div style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><div style="font-family: 'Segoe UI Historic', 'Segoe UI', Helvetica, Arial, sans-serif; color: #1c1e21; font-size: 12px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; white-space: normal; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;" data-mce-style="font-family: 'Segoe UI Historic', 'Segoe UI', Helvetica, Arial, sans-serif; color: #1c1e21; font-size: 12px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; white-space: normal; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;"><div style="font-family: inherit;" data-mce-style="font-family: inherit;"><div class="x1n2onr6" style="position: relative; font-family: inherit;" data-mce-style="position: relative; font-family: inherit;"><div class="x6s0dn4 xi81zsa x78zum5 x6prxxf x13a6bvl xvq8zen xdj266r xktsk01 xat24cr x1d52u69 x889kno x4uap5 x1a8lsjc xkhd6sd xdppsyt" style="justify-content: flex-end; margin: 0px 16px; padding: 10px 0px; font-size: 0.9375rem; align-items: center; display: flex; color: var(--secondary-text); border-bottom: 1px solid var(--divider); line-height: 1.3333; font-family: inherit;" data-mce-style="justify-content: flex-end; margin: 0px 16px; padding: 10px 0px; font-size: 0.9375rem; align-items: center; display: flex; color: var(--secondary-text); border-bottom: 1px solid var(--divider); line-height: 1.3333; font-family: inherit;"><div class="x6s0dn4 x78zum5 x1iyjqo2 x6ikm8r x10wlt62" style="flex-grow: 1; align-items: center; display: flex; overflow: hidden; font-family: inherit;" data-mce-style="flex-grow: 1; align-items: center; display: flex; overflow: hidden; font-family: inherit;"><div class="x1i10hfl xjbqb8w x6umtig x1b1mbwd xaqea5y xav7gou x9f619 x1ypdohk xe8uvvx xdj266r x11i5rnm xat24cr x1mh8g0r xexx8yu x4uap5 x18d9i69 xkhd6sd x16tdsg8 x1hl2dhg xggy1nq x1o1ewxj x3x9cwd x1e5q0jg x13rtm0m x1n2onr6 x87ps6o x1lku1pv x1a2a7pz x1heor9g xnl1qt8 x6ikm8r x10wlt62 x1vjfegm x1lliihq" role="button" style="outline: none; text-decoration: none; list-style: none; margin: 0px; text-align: inherit; display: block; position: relative; z-index: 1; cursor: pointer; padding: 0px; box-sizing: border-box; background-color: transparent; overflow: hidden; border-radius: inherit; color: inherit; -webkit-tap-highlight-color: transparent; user-select: none; touch-action: manipulation; max-height: 1.3333em; font-family: inherit; border: 0px initial initial;" data-mce-style="outline: none; text-decoration: none; list-style: none; margin: 0px; text-align: inherit; display: block; position: relative; z-index: 1; cursor: pointer; padding: 0px; box-sizing: border-box; background-color: transparent; overflow: hidden; border-radius: inherit; color: inherit; -webkit-tap-highlight-color: transparent; user-select: none; touch-action: manipulation; max-height: 1.3333em; font-family: inherit; border: 0px initial initial;" data-mce-tabindex="0"><div class="x9f619 x1ja2u2z xzpqnlu x1hyvwdk xjm9jq1 x6ikm8r x10wlt62 x10l6tqk x1i1rx1s" style="position: absolute; z-index: 0; box-sizing: border-box; overflow: hidden; height: 1px; clip-path: inset(50%); clip: rect(0px, 0px, 0px, 0px); width: 1px; font-family: inherit;" data-mce-style="position: absolute; z-index: 0; box-sizing: border-box; overflow: hidden; height: 1px; clip-path: inset(50%); clip: rect(0px, 0px, 0px, 0px); width: 1px; font-family: inherit;">Tüm ifadele</div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div><div><br></div><hr id="zwchr" data-marker="__DIVIDER__"><div data-marker="__HEADERS__"><b>From: </b>"Burak Kaya" <burakk@metu.edu.tr><br><b>To: </b>"tmd" <tmd-uye@listweb.bilkent.edu.tr><br><b>Sent: </b>Friday, November 17, 2023 1:39:48 PM<br><b>Subject: </b>[TMD-UYE: 3822] Re: Önerme Tanımı<br></div><div><br></div><div data-marker="__QUOTED_TEXT__"><p>Merhaba Zafer Hocam,</p>
<p>Sizin yaptığınız tanım, yani önermeler kümesini belirli
özellikleri sağlayan en küçük küme olarak tanımlamak, her ne kadar
kendine referans vermediği için size daha makul gözükse de; işin
pratiğinde Ali Hoca'nın yaptığı çoğu ders kitabındaki tanımla daha
çok karşılaşılmasının sebebi şu:</p>
<p>Önermeler mantığı (ya da birinci-derece mantık) kurulup bu
sistemlerdeki önermeler (ya da formüller) tanımlandıktan sonra
bunlarla ilgili teorem kanıtlamanın en temel yolu önermenin (ya da
formülün) "karmaşıklığı üzerinde tümevarım" yapmaktır. Bu tanım
bunun için daha uygun, ama daha da uygunu var:<br>
</p>
<p>Önermeleri (ya da formülleri) tanımlamanın bence en pedagojik
yolu şudur:</p>
<p>(A) Mertebesi 0 olan formülleri tanımlarsınız. (Sizin attığınız
durumda bunlar temel önermeler oluyor.)<br>
(B) Daha sonra mertebesi n+1 olan formüllerin mertebesi n olan
formüllerden nasıl elde edileceğini ifade edersiniz. (Sizin
attığınız durumda ii ve iii maddeleri bunu karşılıyor.)<br>
(C) Doğal sayılardaki özyineleme teoremi (recursion theorem)
sonucunda varlığını kanıtladığınız fonksiyonun görüntüsü de
önermeler ya da formüller kümeniz olur.</p>
<p>Ali Hoca'nın kitabındaki iv maddesinde "bu kurallardan sonlu
adımda elde edilebilir" diyerek yukarıdaki (C) maddesini halının
altına süpürüyor. Daha doğrusu, "bu kurallardan sonlu adımda elde
edilir" demek zaten tam olarak yukarıda yapılan şeyi yapmak demek!</p>
<p>Tabii okuyucunun gözünü özyineleme teoremi gibi ifadelerle
korkutmak istemiyorsanız okuyucunun bildiğini sandığı "sonlu
adımda elde etmek" ifadesiyle sezgisel olarak anlamasını sağlayıp
geçiştirmek yeterli.<br>
</p>
<p>Önermeleri (ya da formülleri) yukarıda tarif ettiğim şekilde
tanımladığınız zaman "karmaşıklık üzerinde tümevarım" yapmak
öğrenciler için daha bariz oluyor: Bir özelliğin/eşitliğin tüm
formüller için doğru olduğunu göstermek için tümevarımla mertebesi
n olan tüm formüller için doğru olduğunu göstermek yeter.</p>
<p>Matematiksel mantık dersleri veren birisi olarak söyleyebilirim
ki öğrenciler formülleri bu şekilde mertebelerine ayırınca
tümevarımı daha iyi anlıyor. Diğer türlü, sanki bildikleri
tümevarımı örnekten sonra alışıyorlar; çoğu ders kitabındaki mertebeden
bahsetmeyen "detaysız" anlatıma dönebiliyorsunuz.<span style="font-size: 12pt;"> </span><span style="font-size: 12pt;">yapmıyoruz da yeni bir kanıt tekniği icat ediyormuşuz gibi davranıyorlar çünkü tümevarımınızın tümevarım adımı birden çok adımdan oluşuyor gibi gözüküyor. Bu şekilde detaylı iki üç</span></p>
<p>***</p>
<p>Sizin tanımınıza gelirsek... Bence bu tanım da makul. Ama günün
sonunda iş pratikte teorem kanıtlamaya gelince, sizin yaptığınız
yukarıdan-aşağı tanımı değil üstteki aşağıdan-yukarı tanımı
kullanmak zorunda kalacağımız için zaten denkliği kanıtlamak
zorunda kalacağız. Bazen bir iki öğrenci çıkıyor "sonlu adımda
elde edilme" kısmından rahatsız; onlara sizin yaptığınız tanımı
söyleyip denkliğin nasıl kanıtlandığını anlatınca içleri
rahatlıyor.<br>
</p>
<p>***</p>
<p>Gelgelelim, matematikte tanımların kendi kendine referans
verilmeden yapılması gerektiğini söylediğiniz ilk cümlenize
katılmıyorum.</p>
<p>Sonluötesi özyineleme teoremi (transfinite recursion theorem)
matematiksel mantıkta, özellikle kümeler kuramında, vazgeçilmez
bir araç. Bu noktada bazıları şunu düşünebilir: O tanımlarla
(mesela ordinal toplaması) bu tanım "aynı" tanım değiller. Birinde
içerisinde çalıştığımız biçimsel sistemin nesnelerine ilişkin
tanım yapıyoruz, diğerinde kendisine ilişkin tanım yapıyoruz.</p>
<p>Hayır yapmıyoruz! Herhangi bir model kuramsal tartışma, *eğer
matematiksel olarak yapılacaksa*, başka bir biçimsel sistem
içerisinde formalize edilmek zorundadır. Dolayısıyla ortada bir
teori-metateori ayrımı vardır. Çoğu model kuramı kitabı, okuyucuya
söylemese de, arka planda bir kümeler kuramını metateori olarak
alır; zaten önermeler *kümesi*, formüller *kümesi*,... gibi laflar
edilmesinin sebebi de budur. Bu durumda, yukarıda tanımını
verdiğimiz önermeler aslında metateorimizin objeleriyle
formalleştirilmiş nesneler. Mesela, Gödel kodlaması yaptıysak,
yukarıdaki özyinelemede "önerme" olarak geçen her şey aslında
metateorimizdeki bir sayı vs. Dolayısıyla önermeler üzerinde
tümevarım yapmakla, sayılar üzerinde tümevarım yapmak özünde aynı
şeyler; sadece objelere ilişkin bilişsel farklılıklardan ötürü
farklı gibi algılayabiliyoruz.</p>
<p>(Teori-metateori ayrımına ilişkin uzunca konuşurum ama gerek yok.
Sadece bu konudaki olası kafa karışıklıklarını örneklemesi için
bir MO cevabımı şuraya bırakayım:
<a href="https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006" target="_blank" rel="nofollow noopener noreferrer">https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006</a>)</p>
<p>Gereğinden çok uzattım.</p>
<p>İyi çalışmalar,</p>
<p>Burak Kaya<br>
</p>
<div class="moz-cite-prefix">On 17.11.2023 11:49, Zafer ERCAN wrote:<br>
</div>
<blockquote>
<div style="font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt;color:#000000">
<div><br>
</div>
<div><br>
</div>
<div>Ali Nesin'in Önermeler Mantığı kitabı (2009 basım)
üzerinden ''önerme tanımı'' konusunda ekte bir not var.</div>
<div><br>
</div>
<div>ZE </div>
</div>
<br>
<fieldset class="moz-mime-attachment-header"></fieldset>
<pre class="moz-quote-pre">_______________________________________________
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız.
<a href="mailto:TMD-UYE@listweb.bilkent.edu.tr" target="_blank" rel="nofollow noopener noreferrer">TMD-UYE@listweb.bilkent.edu.tr</a>
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz:
<a href="http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye" target="_blank" rel="nofollow noopener noreferrer">http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye</a>
</pre>
</blockquote>
<br>_______________________________________________<br>Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız.<br>TMD-UYE@listweb.bilkent.edu.tr<br>BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz:<br>http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye<br></div></div></body></html>