<html><body><div style="font-family: arial, helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: #000000"><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;">iki küme arasında tanımlanan eşitlik kavramının (aksiyom olmayan) tanımlanmasının temel nedeninin, x, y ve A kümeleri için,</span><br></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"> </span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;">"x=y ve x, A'nın elemanıysa y'nin de elemanıdır"</span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"><br data-mce-bogus="1"></span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;">biçimindeki ifadenin sağlanmasına yönelik olduğu çıkarımındayım. Çeşitli biçimlerde verilen eşitlik aksiyomları tek başlarına bu talebi karşılamıyor. Bunun içinde ait olunan küme üzerinden tanımın verilmesini zorunlu kılıyor.</span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"><br data-mce-bogus="1"></span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;">Bu anlamda, kümeler için verilen bu biçimli tanım classlar için, en azından yaygın olarak, verilmiyor. Bunun temel nedenlerinden biri, proper classların bir classa ait olmasının tanımlanması girişiminde ortaya çıkan karmaşa sanırim!? Bu, pek talep edilen ve matematikde tartışılan bir konu olmadığını tahmin ediyorum.</span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"><br data-mce-bogus="1"></span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;">ZE</span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"><br data-mce-bogus="1"></span></div><div><span style="font-size: 12pt;" data-mce-style="font-size: 12pt;"><br data-mce-bogus="1"></span></div><div><br></div><hr id="zwchr" data-marker="__DIVIDER__"><div data-marker="__HEADERS__"><b>Kimden: </b>"Ali Nesin" <anesin@nesinkoyleri.org><br><b>Kime: </b>"Burak Kaya" <burakk@metu.edu.tr>, "Zafer ERCAN" <zercan@ibu.edu.tr><br><b>Kk: </b>"tmd" <tmd-uye@listweb.bilkent.edu.tr><br><b>Gönderilenler: </b>1 Mart Cumartesi 2025 20:09:39<br><b>Konu: </b>Re: Sınıfın Eşitlik tanımı üzerine<br></div><div><br></div><div data-marker="__QUOTED_TEXT__"><p><br>
</p>
<p>Evet, Tanım 1.9'da sorun var gibi duruyor.<br>
O tanımı küme eşitliğinin tanımı gibi yapsak sanırım sorun ortadan
kalkıyor: Two classes are equal iff they have the same elements.<br>
Zaten tanımı ilk gördüğümde şaşırmıştım, tuhaf gelmişti.<br>
A<br>
</p>
<p><br>
</p>
<p><br>
</p>
<div class="moz-cite-prefix">01.03.2025 13:06 tarihinde Burak Kaya
yazdı:<br>
</div>
<blockquote>
<p>Merhaba hocam,</p>
<p>Ben gözleminizde bir hata göremiyorum. Muhtemelen Pinter'ın
gözden kaçırdığı bir typo ya da farkında olmadan yaptığı bir
hata var. </p>
<p>Aklıma gelen tek olasılık Pinter'ın çalıştığı sistemin eşitlik
sembolü olmayan birinci derece mantık (FOL with equality)
olması. Bu durumda 1.9 sistemimizde bir cümle değil, 1.9'da
sağdaki ifade A=B ifadesi için belitsel sistemimizde sadece bir
kısaltma. Yani 1.9'da sağdaki ifadeyi kanıtladığımızda informal
olarak eşit diyoruz, diğer aksiyomlarda da eşitlik gördüğümüz
yere bunu yazacağız vs.</p>
<p>Ancak bu da bizi kurtarmıyor: Eğer Pinter'ın sistemi düzgün
çalışıyorsa, A ve B yerine iki proper class (mesela A'yı tüm
kümeler ve B'yi ordinaller) aldığımızda, eğer bunların proper
class olduğunu kanıtlayabiliyorsak, sağdaki gerektirmeleri
kanıtlayabilmemiz lazım; yine bahsettiğiniz çelişki ortaya
çıkıyor. O zaman da bir ihtimal şunu düşündüm: Acaba eşitlik
sembolü olmayan birinci derece mantıkta 1.9'daki ifadeyi
eşitliğin tanımı, yani kısaltması, olarak aldığımızda klasik
argümanlarla bunların proper class olduğunu kanıtlayamıyor
muyuz? Böyle olduğuna pek olasılık vermiyorum ancak böyleyse de
bu durumda da böyle bir belitsel sistemi kullanmamalıyız.</p>
<p>Sonuç olarak, gözlemlediğiniz gibi yazan şeyde yazdığı haliyle
bir sıkıntı var. 1.9'daki ifadenin kümeler için doğru olmasını
bekliyoruz ama sınıflar için doğru olurlarsa dediğiniz gibi iki
proper class eşit olmak zorunda kalıyor.</p>
<p>Peki bu problemi nasıl çözeceğiz?</p>
<p>Pinter'ın kitabını değil, küme kuramcılarının yazdığı ve bu
alandaki eğitimde kullanılan klasik kitapları kullanarak: Kunen,
Jech, Moschovakis vs. :)</p>
<p>İyi çalışmalar,</p>
<p>Burak Kaya</p>
<div class="moz-cite-prefix">On 3/1/2025 6:36 AM, Zafer ERCAN
wrote:<br>
</div>
<blockquote>
<div style="font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt;color:#000000">
<div>
<div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt">Pinter'in bilinen klasik Set
Theory </span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt">(link: h</span><span style="font-size:17.3333px">ttps://archive.org/details/charles-c.-pinter-2014-a-book-of-set-theory/page/n38/mode/1up)</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">kitabı, küme teoriyi
tanımsız "class" ve "membership" objeler üzerinden
inşa ediyor.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><br>
</div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Birinci bölümün ikinci
kısmının girişinde numarasız tanımda "element" ve aynı
kısmın definition 1.48'de "set" tanımlanıyor olsa da
bunlar birbirleriyle çakışıyor.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Set olmayan class da
Definition 1.48'de (standart olarak) "proper class"
olarak tanımlanmakta.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Definition 1.9 iki
classın "eşit" olmasını tanımlıyor. (Aksiyom olarak
değil!) Bu tanıma göre, herhangi iki proper class,
"iff" bağlacıyla verilen tanımın sağ tarafında kalan
önerme standart önermesel mantık içerisinde doğru
olacağından, eşit oluyor. Bu da "eşitlik" üzerinden
tek bir tane proper classın olacağı sonucunu
çıkartıyor ki, bu, absurd ve standartlara da uygun
değil.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Yanılmıyorsam da
yanıldığım noktayı göremediğim için sizlere sorma
gereği duydum. İlgilenenlere şimdiden teşekkür ederim.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">ZE</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
</div>
<br>
</div>
</div>
</blockquote>
</blockquote>
<div id="DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2"><br><table style="border-top:1px solid #d3d4de"><tbody><tr><td style="width:55px;padding-top:13px"><a href="https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient" target="_blank" rel="nofollow noopener noreferrer"><img alt="" width="46" height="29" style="width:46px;height:29px" src="https://s-install.avcdn.net/ipm/preview/icons/icon-envelope-tick-round-orange-animated-no-repeat-v1.gif"></a></td><td style="width:470px;padding-top:12px;color:#41424e;font-size:13px;font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;line-height:18px">Virüs yok.<a href="https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient" style="color:#4453ea" target="_blank" rel="nofollow noopener noreferrer">www.avast.com</a></td></tr></tbody></table><a href="#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2" rel="nofollow"> </a></div><br></div></div></body></html>