<html><body><div style="font-family: arial, helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: #000000"><div>Kitabın orjinal basımı 1971 yılı. Kitabın genel gidişine baktığımızda yazar çelişki ile ispat yöntemini (p ve q' ) <span style="color: #000000; font-family: arial, helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; display: inline !important; float: none;" data-mce-style="color: #000000; font-family: arial, helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: #ffffff; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; display: inline !important; float: none;">(reductio ad absurdum) kullanmıyor</span>. Mesela "Boş küme her sınıfın alt sınıfıdır" önermesini karşıt ters (q' ise p') yöntemiyle ispatlıyor (Teorem 1.17). Bildiğim kadarıyla çelişki yoluyla ispat yöntemi tartışmalıydı, en azından yazar bu yöntemden kaçınıyor diye düşünüyorum.<br></div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div>Bu nedenle Tanım 1.9 bu ispat yöntemi göz ardı edilerek ele alınmış bana kalırsa. Yani "A=B iff Eğer A bir X in elemanıysa B de X in elemanı ve Eğer B bir X in elemanıysa A da X in bir elemanı " biçiminde verilmiş ve esasen elemanların eşitliğini tanımlamaya yarayan bir ifade gibi duruyor. Kitabın bütünü açısından bir sorun oluşturduğunu düşünmüyorum.<br><br>Ayşe Uyar<br> </div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div><br data-mce-bogus="1"></div><div data-marker="__HEADERS__"><b>Kimden: </b>"Zafer ERCAN" <Zafer.Ercan@listweb.bilkent.edu.tr><br><b>Kime: </b>"Ali Nesin" <anesin@nesinkoyleri.org><br><b>Kk: </b>"tmd" <tmd-uye@listweb.bilkent.edu.tr>, "turkmath" <turkmath@listweb.bilkent.edu.tr>, "Burak Kaya" <burakk@metu.edu.tr><br><b>Gönderilenler: </b>2 Mart Pazar 2025 10:01:39<br><b>Konu: </b>[Turkmath:7045] Re: Sınıfın Eşitlik tanımı üzerine<br></div><div><br></div><div data-marker="__QUOTED_TEXT__"><div style="font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt;color:#000000"><div><span style="font-size:12pt">iki küme arasında tanımlanan eşitlik kavramının (aksiyom olmayan) tanımlanmasının temel nedeninin, x, y ve A kümeleri için,</span><br></div><div><span style="font-size:12pt"> </span></div><div><span style="font-size:12pt">"x=y ve x, A'nın elemanıysa y'nin de elemanıdır"</span></div><div><span style="font-size:12pt"><br></span></div><div><span style="font-size:12pt">biçimindeki ifadenin sağlanmasına yönelik olduğu çıkarımındayım. Çeşitli biçimlerde verilen eşitlik aksiyomları tek başlarına bu talebi karşılamıyor. Bunun içinde ait olunan küme üzerinden tanımın verilmesini zorunlu kılıyor.</span></div><div><span style="font-size:12pt"><br></span></div><div><span style="font-size:12pt">Bu anlamda, kümeler için verilen bu biçimli tanım classlar için, en azından yaygın olarak, verilmiyor. Bunun temel nedenlerinden biri, proper classların bir classa ait olmasının tanımlanması girişiminde ortaya çıkan karmaşa sanırim!? Bu, pek talep edilen ve matematikde tartışılan bir konu olmadığını tahmin ediyorum.</span></div><div><span style="font-size:12pt"><br></span></div><div><span style="font-size:12pt">ZE</span></div><div><span style="font-size:12pt"><br></span></div><div><span style="font-size:12pt"><br></span></div><br><hr id="zwchr"><div><b>Kimden: </b>"Ali Nesin" <anesin@nesinkoyleri.org><br><b>Kime: </b>"Burak Kaya" <burakk@metu.edu.tr>, "Zafer ERCAN" <zercan@ibu.edu.tr><br><b>Kk: </b>"tmd" <tmd-uye@listweb.bilkent.edu.tr><br><b>Gönderilenler: </b>1 Mart Cumartesi 2025 20:09:39<br><b>Konu: </b>Re: Sınıfın Eşitlik tanımı üzerine<br></div><br><div><p><br>
</p>
<p>Evet, Tanım 1.9'da sorun var gibi duruyor.<br>
O tanımı küme eşitliğinin tanımı gibi yapsak sanırım sorun ortadan
kalkıyor: Two classes are equal iff they have the same elements.<br>
Zaten tanımı ilk gördüğümde şaşırmıştım, tuhaf gelmişti.<br>
A<br>
</p>
<p><br>
</p>
<p><br>
</p>
<div class="moz-cite-prefix">01.03.2025 13:06 tarihinde Burak Kaya
yazdı:<br>
</div>
<blockquote>
<p>Merhaba hocam,</p>
<p>Ben gözleminizde bir hata göremiyorum. Muhtemelen Pinter'ın
gözden kaçırdığı bir typo ya da farkında olmadan yaptığı bir
hata var. </p>
<p>Aklıma gelen tek olasılık Pinter'ın çalıştığı sistemin eşitlik
sembolü olmayan birinci derece mantık (FOL with equality)
olması. Bu durumda 1.9 sistemimizde bir cümle değil, 1.9'da
sağdaki ifade A=B ifadesi için belitsel sistemimizde sadece bir
kısaltma. Yani 1.9'da sağdaki ifadeyi kanıtladığımızda informal
olarak eşit diyoruz, diğer aksiyomlarda da eşitlik gördüğümüz
yere bunu yazacağız vs.</p>
<p>Ancak bu da bizi kurtarmıyor: Eğer Pinter'ın sistemi düzgün
çalışıyorsa, A ve B yerine iki proper class (mesela A'yı tüm
kümeler ve B'yi ordinaller) aldığımızda, eğer bunların proper
class olduğunu kanıtlayabiliyorsak, sağdaki gerektirmeleri
kanıtlayabilmemiz lazım; yine bahsettiğiniz çelişki ortaya
çıkıyor. O zaman da bir ihtimal şunu düşündüm: Acaba eşitlik
sembolü olmayan birinci derece mantıkta 1.9'daki ifadeyi
eşitliğin tanımı, yani kısaltması, olarak aldığımızda klasik
argümanlarla bunların proper class olduğunu kanıtlayamıyor
muyuz? Böyle olduğuna pek olasılık vermiyorum ancak böyleyse de
bu durumda da böyle bir belitsel sistemi kullanmamalıyız.</p>
<p>Sonuç olarak, gözlemlediğiniz gibi yazan şeyde yazdığı haliyle
bir sıkıntı var. 1.9'daki ifadenin kümeler için doğru olmasını
bekliyoruz ama sınıflar için doğru olurlarsa dediğiniz gibi iki
proper class eşit olmak zorunda kalıyor.</p>
<p>Peki bu problemi nasıl çözeceğiz?</p>
<p>Pinter'ın kitabını değil, küme kuramcılarının yazdığı ve bu
alandaki eğitimde kullanılan klasik kitapları kullanarak: Kunen,
Jech, Moschovakis vs. :)</p>
<p>İyi çalışmalar,</p>
<p>Burak Kaya</p>
<div class="moz-cite-prefix">On 3/1/2025 6:36 AM, Zafer ERCAN
wrote:<br>
</div>
<blockquote>
<div style="font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt;color:#000000">
<div>
<div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt">Pinter'in bilinen klasik Set
Theory </span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:13pt">(link: h</span><span style="font-size:17.3333px">ttps://archive.org/details/charles-c.-pinter-2014-a-book-of-set-theory/page/n38/mode/1up)</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">kitabı, küme teoriyi
tanımsız "class" ve "membership" objeler üzerinden
inşa ediyor.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><br>
</div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Birinci bölümün ikinci
kısmının girişinde numarasız tanımda "element" ve aynı
kısmın definition 1.48'de "set" tanımlanıyor olsa da
bunlar birbirleriyle çakışıyor.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Set olmayan class da
Definition 1.48'de (standart olarak) "proper class"
olarak tanımlanmakta.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Definition 1.9 iki
classın "eşit" olmasını tanımlıyor. (Aksiyom olarak
değil!) Bu tanıma göre, herhangi iki proper class,
"iff" bağlacıyla verilen tanımın sağ tarafında kalan
önerme standart önermesel mantık içerisinde doğru
olacağından, eşit oluyor. Bu da "eşitlik" üzerinden
tek bir tane proper classın olacağı sonucunu
çıkartıyor ki, bu, absurd ve standartlara da uygun
değil.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">Yanılmıyorsam da
yanıldığım noktayı göremediğim için sizlere sorma
gereği duydum. İlgilenenlere şimdiden teşekkür ederim.</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif"><span style="font-size:17.3333px">ZE</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
<div style="color:rgb( 0 , 0 , 0 );font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;font-size:12pt"><span style="font-size:17.3333px"><br>
</span></div>
</div>
<br>
</div>
</div>
</blockquote>
</blockquote>
<div id="DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2"><br><table style="border-top:1px solid #d3d4de"><tbody><tr><td style="width:55px;padding-top:13px"><a href="https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient" rel="nofollow noopener noreferrer nofollow noopener noreferrer" target="_blank"><img alt="" width="46" height="29" style="width:46px;height:29px" src="https://s-install.avcdn.net/ipm/preview/icons/icon-envelope-tick-round-orange-animated-no-repeat-v1.gif"></a></td><td style="width:470px;padding-top:12px;color:#41424e;font-size:13px;font-family:'arial' , 'helvetica' , sans-serif;line-height:18px">Virüs yok.<a href="https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient" style="color:#4453ea" rel="nofollow noopener noreferrer nofollow noopener noreferrer" target="_blank">www.avast.com</a></td></tr></tbody></table><a href="#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2" rel="nofollow nofollow"> </a></div><br></div></div>
<br>_______________________________________________<br>Turkmath mailing list<br>Turkmath@listweb.bilkent.edu.tr<br>http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/turkmath<br></div></div></body></html>
<br>--<br><p>Bu e-posta mesajı ve içeriği gizli veya özel bilgiler içerebilir. Mesajın içeriğinde bulunan tüm fikir ve görüşler sadece göndericiye ait olup, Gazi Üniversitesi’nin resmi görüşünü yansıtmaz. Kurumumuz bu e-posta içeriğindeki bilgilerin kullanılması nedeniyle hiç kimseye karşı sorumlu tutulamaz. Mesajın belirlenen alıcılardan biri değilseniz, mesaj içeriğini ya da eklerini kullanmayınız, kopyalamayınız, yaymayınız, başka kişilere yönlendirmeyiniz ve mesajı gönderen kişiyi derhal e-posta yoluyla haberdar ederek bu mesajı ve eklerini herhangi bir kopyasını muhafaza etmeksizin siliniz. Kurumumuz size, mesajın ve bilgilerinin değişikliğe uğramaması, bütünlüğünün ve gizliliğin korunması konusunda garanti vermemekte olup, e-posta içeriğine yetkisiz olarak yapılan müdahale, virüs içermesi ve/veya bilgisayar sisteminize verebileceği herhangi bir zarardan da sorumlu değildir.</p>
<hr>
<p>
This e-mail message and its content may contain confidential or proprietary information. All ideas and opinions contained in the message are solely those of the sender and do not reflect the official opinion of Gazi University. Our institution cannot be held responsible to anyone for the use of the information contained in this e-mail. If you are not one of the designated recipients of the message, do not use, copy, disseminate, forward the message content or attachments, and immediately notify the sender of the message via e-mail and delete this message and its attachments without retaining any copies. Our institution does not guarantee you that the message and its information will not be changed, its integrity and confidentiality will be protected, and is not responsible for any unauthorized intervention to the e-mail content, viruses and/or any damage it may cause to your computer system.</p>