[Turkmath:5515] Dennis Sullivan - Bir Matematikçi – Abel Ödülü

[Mustafa Kalafat]

Sevgili Matematikseverler...


Bu yılki 2022 Abel ödülü benim de yakından tanıdığım,
enaz bir yıl da birebir çalışma yaptığım

   Dennis Sullivan

a gitti. Kendisiyle çalışırken öğrendiğim Spektral dizileri tezimde
Leray Spektral dizisi olarak kullandım, daha sonrasında ise Serre Spektral
dizisi olarak başka makalelerde de kullanmak nasip oldu.
Yine aynı şekilde üzerinde durup öğrenmemi sağladığı Obstruction Teorisini
de sonradan makalelerde uygulama fırsatı buldum.
Kendisinden aldığımız dersler ve nasihatlerin etkisi üzerimizde
hayat boyu etkili olmuştur.

Matematiğin birçok farklı alanında devrimsel sonuçlar ispatlamıştır.
Bir kısım Teoremleri ise ders kitaplarına geçmiştir.
Bunlardan bir kısımını amiyane şekilde özetlemeye çalışacağım.
Düzeltmek, detaylandırmak ve netleştirmek isteyen hocalarımızı da
yazmaya davet ediyoruz.

1. Hauptvermutung problemi çözümüne önemli katkıları olmuştur.
Topolojik olan bu problem 1908 de ortaya atılıp zamanla değişik engeller
eklenerek netleşmiştir. Temelde üçgenlenebilir bir uzayın 2 ayrı üçgenleşmesinin
denk olup olmadığını sorar. Bu haliyle yanlış olduğu ispatlanmıştır.
Turgut Önder hocamız doktorasında Sullivanın bu konudaki makalelerini
sıkıca çalıştıklarını bize anlatırdı. Ondan daha detaylı bilgiler
duymayı isteriz.

2. Minimal yüzeyler: Taut foliasyonlar her manifoldda bulunmayan
nadir bir foliasyon çeşididir. Kodimensiyon-1 de her noktada
yapraklara transverse bir çember geçer anlamı taşır.
Bir manifold taut foliasyon taşır ancak ve ancak
üzerine öyle bir Rieman metriği konabilir ki
yapraklar minimal yüzey olsun.
Sullivan Teoremi bunu söylemektedir. Böylelikle Topolojik
bir şartı Geometrik olarak ifade etmiştir.
Minimal yüzeylerde dünyada çok gelişmeler olmaktadır,
ülkemizde atıl kalmış ve bitmiş zannedilen bu alanda
örneğin 5-6 yıl önce “Willmore Conjecture” çözülmüştür.
Bunun öncesinde “Lawson Conjecture” da çözülmüş olup
yıllar boyu her zaman aktif olagelmiş bir geometri alanıdır.

3. Fatou gezinmeyen parça sanısı: Fatounun çalışmalarından sonra
1927den beri bu alanda bir gelişme olmamıştır. Sullivan Teoremiyle
1985te yaklaşık 60 sene sonra tekrar bu alanı araştırmaya açmıştır.
“1 boyutlu complex dynamical systems” alanında
complex tek değişkenli polinomun iterasyonuyla sonsuza kaçan noktalar
kümesinin kenarına Julia Kümesi adı verilir.
Bu kümenin kompleks düzlemdeki tersi ise Fatou kümesidir.
Halk içinde bir fraktal olarak adlandırabileceğimiz bu kümenin
parçalarının göçebe olup olmadığı soru konusu olmuştur.
Sullivan bu parçaların sonsuza kadar göçebe olamayacağını,
bir iterasyondan sonra artık birbirini tekrar etmeye başlayacağını
yani periyodik olduğunu göstermiştir.
Bunu da Quasiconformal mapler vasıtasiyle yapar.
Conformal mapler çok sert olduğundan burada yetersiz kalmıştır,
quasi-conformal mapler ise smooth fonksiyonlar gibi daha esnektir.
Sullivan Quasiconformal mapler sayesinde pek çok alternatif üretip
bu kadar alternatif olamayacağını göstermiştir.
Julia ve Fatou kümesi resimleri için:

    https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set

Milnorun bu teoreme hayran kaldığı ve bu alan
tekrar açıldıktan sonra kendi konusunu değiştirip
dinamik sistemlere kaydığı söylenmektedir.

4. Quasiconformal 4-manifoldlar: Yukarda anlattığımız gibi
Quasiconformal mapler Sullivanın yıldız mapleridir
ve onun sayesinde çok çok daha meşhur olmuşlardır.
NMK kış okulumuzda da 2020 senesinde bu konuda 1 haftalık bir ders
Tommaso Pacini hocamız tarafından açılmıştı:

    https://gtnmk.droppages.com/2020b/#tommaso

o da bu mapleri geometride kullanmaya başlamıştı.
O dersin notlarını da internet sitesinde yayınladı.
Herneyse, Donaldsonun 4 boyutta egzotik diferansiyel yapılar
keşfinden sonra Sullivan Qusiconformal mapleri de
benzer şekilde 4-manifoldlarda da kullanmaya karar verdi.
Ve Donaldsonla birlikte “Quasiconformal 4-manifolds”
makalesini yayınladılar. Burada tıpkı egzotik yapılarda olduğu gibi,
Quasiconformal yapısı olmayan 4-manifoldlar ve
birden fazla Quasiconformal yapı kabul eden 4-manifold örnekleri
gösterdiler.

5. Measure theory: Kleinian grupların limit kümelerini
fraktal olarak ifade edersek, bu fraktalların komplikasyonlarını
anlamak için üstüne Patterson-Sullivan measure/ölçümü koymuştur.
Bu ölçümle bu fraktalların komplikasyonları
belli düzeyde sınıflandırmaları yapılabilmektedir.
Sullivan bunu “Density at infinity”, sonsuzdaki yoğunluk olarak tabir
etmektedir.

6. Rasyonel homotopi teorisi temellerini Daniel Quillen’le birlikte atmıştır.
Diferansiyel formları kullanarak Sullivan minimal modelleri oluşturur.
Bu isimde kitaplar çıkmış olup detaylar için onlara bakılabilir.

7. Chas ile birlikte string topolojisini kurmuştur.

8. Complex analizde de pek çok teoremi vardır.

Bunların dışında Sullivanın 1980lerden bu yana
“Sullivan Semineri” mevcuttur ve bunlar ta o zamandan
beri tamamı kayda alınmıştır. O zamanlar Beta ve VHS
kasetlere çekilen bu kayıtlarda pek çok ünlü matematikçinin
gençlik görüntü ve seslerine erişmek mümkündür.
Günümüzde bunlar nihayet elektronik hale de getirildi:

   http://www.math.stonybrook.edu/Videos/Einstein/

Smale den tutun Whitney,Bott,Arnold,Novikov,Gromov,Thurston,
Bers,Morgan, Witten, Taubes, Milnor vb. ünlü matematikçilerin,
tabi ençok da kendisinin sayısız kaydı orada mevcuttur.
Zamanında bunların sirkülasyonu da sağlanmıştı,
sekreterinin VHS kasetleri bana NewYorktan postaladığını ve seyrettikten sonra
da onları geri postaladığımı hatırlarım...

Sullivan’ın matematiksel oğlu McMullen ve torunu Mirzakhani
Fields madalyası almıştır. Bu düzeyde artık madalyanın pek bir önemi
olmasa da Sullivan da Veblen ve Steele ödüllerini de içeren pek çok
ödül almıştır.

Dennis 30 senedir 2 işte birden çalışmaktadır.
Long Island - Stonybrookta ikamet edip haftada 1 gün trenle
New York City deki Empire State Gökdeleninin karşısındaki
CUNY-Graduate centera gidip gelir.
Beraber sohbet ederek gidip geldiğimizi ve bileti elimden zorla
alarak sekreterine ödettiği günleri hatırlarım.
Mesai saati uygulaması tabiki ülkemizde olmadığı
gibi orada da yoktur. 2547 ile öğretim üyeleri
mesai saatinden muaf tutulmuştur.
Bunun uygulamasını da yine Dennis’ten örnek alarak
zamanında yapmıştık.

Dennis aynı zamanda hızlı bir erkek olmasıyla da bilinir.
Ben çalışırken 20 yıl önce 4. karısından 6. çocuğu Clara dünyaya geldi,
onu kucağında sallıyordu. O noktadan sonra saymayı bıraktım.
Enaz 1 oğlu da matematikçi ama hangisi bilemedim. Michael olabilir.

Abel ödülü vasıtasıyla, ülkemizde yeteri kadar tanınmamış
bu Geometri Topoloji Analiz aşığı matematikçimiz umarım
daha yakından tanınacaktır.

Herkese iyi çalışmalar...

Doç Dr. Mustafa Kalafat





 |Mustafa Kalafat -------------------------------------------------
 |    Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn   |
 |    Office: Endenicher Allee 60, Zimmer 1.036            |
 |    Email: kalafat at math.uni-bonn.de                          |
 |    Web  : http://kalafat.droppages.com/                      |
 -----------------------------------------------------------------------|