[Turkmath:6077] "1+2+3+...=-1/12"

[H. Turgay Kaptanoglu]

Merhabalar,

"1+2+3+...=-1/12" ifadesine aciklik getireyim.  Tabii ki bu
ifade bu sekliyle dogru degil, pozitif sayilarin toplami negatif
olamaz.

Ama soldaki toplam sanki Riemann zeta fonksiyonunun "-1'deki
degeri" gibi dusunulebilir.  Riemann zeta fonksiyonu Z(s), ilkin
Re(s)>1 esitsizligini saglayan karmasik s degerleri icin
Z(s)=\sum_{n=1}^\infty(1/n^s) olarak tanimlanir.  Bu tanimda
Re(s)>1 almak, serinin yakinsakligini saglamak icin gereklidir.
Tabii bu haliyle Riemann zeta fonksiyonu s=-1'de tanimli
degildir.

Ote yandan, Riemann zeta fonksiyonunun tum karmasik duzleme
meromorfik devami vardir ve tek tekilligi de s=1'dedir.  Yani
bu fonksiyon s=-1'e analitik olarak devam ettirilebilir.
Riemann zeta foksiyonu ayrica tum duzlemde su fonksiyonel
denklemi saglar:  Z(s) = 2^s \pi^{s-1} sin(s\pi/2) G(1-s) Z(1-s)
ki burada G gama fonksiyonudur.

(Bu esitlik s=1'de de gecerlidir, cunku sol taraftaki Z'nin
1'deki kutbu ile sag taraftaki G'nin 0'daki kutbu kalintilariyla
birlikte birbirini dengeler.)

Simdi fonksiyonel denkleme s=-1 koyalim.  Sagda G(2)=1G(1)=1 ve
sin(-\pi/2)=1 olur.  Yine sagda Z(2)=\pi^2/6 oldugunu biliyoruz,
cunku Z(2)=1+1/4+1/9+1/16+... toplamidir.  O zaman Z(-1)=-1/12
olur.

Sonuc olarak, 1+2+3+... toplami -1/12 degildir, ancak bu toplam
Riemann zeta fonksiyonunun ilk taniminda yanlis olarak s=-1
koymakla elde edilir gibi durur.  Dogru olan, Riemann zeta
fonksiyonunun analitik devaminin -1'deki degerinin -1/12
olmasidir.  Tabii "1+2+3+...=-1/12" yazmak daha carpici duruyor.

Yukaridaki hesaplarin hicbiri, fonksiyonel dennklemin kendisi ve
cikarilmasi dahil, "\infty-\infty" gibi anlamsiz durumlar
icermez, hepsi bildigimiz anlamda yakinsak serilerlle elde
edilir.

Bu teknige "zeta function regularization" deniyormus.  Tabii
baska regularization'lar da var.

=====
H. Turgay Kaptanoğlu
www.fen.bilkent.edu.tr/~kaptan/