[Turkmath:6269] Re: [TMD-UYE: 3822] Re: Önerme Tanımı- ''p ise q'' nun değeri

Sun Nov 19 08:25:44 UTC 2023

Merhaba Burak hocam, 

Gereğinden kısa tuttuğunuz yanıtınız için çok teşekkürler. ''p ise q'' önermesinin doğruluk değeri için aşağıdaki gibi dolambaçlı bir fikir yürüttüm. Bu tür önermelenin doğruluk 
değerinin kullanılmasında bir tedirginlik yaşıyor musuz? 

Selamlar, 

Zafer. 

Hiçbir kimse uçak kullanmayı bilmeyen birinin kullandığı uçağa binmez. Ama bu davranışın "doğru" ya da "yanlış" olduğu da kanıtlanamaz! 
"Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa kullandığı uçağı düşürür" doğru ama (uçak kullanmayı bilmeyen birinin uçağı kullanmasının doğru olmayacağı varsayımı altında) "Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa uçağı Ankara'dan New York'a başarılı bir biçimde uçurur" niye doğru? : 
p ve q iki önerme (yani doğru ya da yanlış olarak ifade edilen değerlerden sadece birini alan semboller) "p ise q" diye bir başka önerme üretir. Bu üretilen önermenin değeri p ve q'nın aldıkları değerlere bağlı olup, yanlış değer aldığının "kanıtlanamadığı" durum söz konusu olabilmekte ve bu durumda, bu önermenin değeri doğru kabul edilmektedir. Bu, günümüz hukukundaki "suçluluğu kanıtlanıncaya kadar suçsuzdur" ilkesine uyumludur. 
Ne demek istediğim "ne eker isen onu biçersin" üzerinden anlamlaştırılabiliniyor. 
Ama tuhaf durum da ortaya çıkıyor, örneğin pilotluk eğitimi almamış bir kişinin uçağı doğru bir şekilde uçurmuş olması ya da düşürmüş olması "doğru" oluyor. 

Tüm ifadele 

From: "Burak Kaya" <burakk at metu.edu.tr> 
To: "tmd" <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> 
Sent: Friday, November 17, 2023 1:39:48 PM 
Subject: [TMD-UYE: 3822] Re: Önerme Tanımı 

Merhaba Zafer Hocam, 

Sizin yaptığınız tanım, yani önermeler kümesini belirli özellikleri sağlayan en küçük küme olarak tanımlamak, her ne kadar kendine referans vermediği için size daha makul gözükse de; işin pratiğinde Ali Hoca'nın yaptığı çoğu ders kitabındaki tanımla daha çok karşılaşılmasının sebebi şu: 

Önermeler mantığı (ya da birinci-derece mantık) kurulup bu sistemlerdeki önermeler (ya da formüller) tanımlandıktan sonra bunlarla ilgili teorem kanıtlamanın en temel yolu önermenin (ya da formülün) "karmaşıklığı üzerinde tümevarım" yapmaktır. Bu tanım bunun için daha uygun, ama daha da uygunu var: 

Önermeleri (ya da formülleri) tanımlamanın bence en pedagojik yolu şudur: 

(A) Mertebesi 0 olan formülleri tanımlarsınız. (Sizin attığınız durumda bunlar temel önermeler oluyor.) 
(B) Daha sonra mertebesi n+1 olan formüllerin mertebesi n olan formüllerden nasıl elde edileceğini ifade edersiniz. (Sizin attığınız durumda ii ve iii maddeleri bunu karşılıyor.) 
(C) Doğal sayılardaki özyineleme teoremi (recursion theorem) sonucunda varlığını kanıtladığınız fonksiyonun görüntüsü de önermeler ya da formüller kümeniz olur. 

Ali Hoca'nın kitabındaki iv maddesinde "bu kurallardan sonlu adımda elde edilebilir" diyerek yukarıdaki (C) maddesini halının altına süpürüyor. Daha doğrusu, "bu kurallardan sonlu adımda elde edilir" demek zaten tam olarak yukarıda yapılan şeyi yapmak demek! 

Tabii okuyucunun gözünü özyineleme teoremi gibi ifadelerle korkutmak istemiyorsanız okuyucunun bildiğini sandığı "sonlu adımda elde etmek" ifadesiyle sezgisel olarak anlamasını sağlayıp geçiştirmek yeterli. 

Önermeleri (ya da formülleri) yukarıda tarif ettiğim şekilde tanımladığınız zaman "karmaşıklık üzerinde tümevarım" yapmak öğrenciler için daha bariz oluyor: Bir özelliğin/eşitliğin tüm formüller için doğru olduğunu göstermek için tümevarımla mertebesi n olan tüm formüller için doğru olduğunu göstermek yeter. 

Matematiksel mantık dersleri veren birisi olarak söyleyebilirim ki öğrenciler formülleri bu şekilde mertebelerine ayırınca tümevarımı daha iyi anlıyor. Diğer türlü, sanki bildikleri tümevarımı örnekten sonra alışıyorlar; çoğu ders kitabındaki mertebeden bahsetmeyen "detaysız" anlatıma dönebiliyorsunuz. yapmıyoruz da yeni bir kanıt tekniği icat ediyormuşuz gibi davranıyorlar çünkü tümevarımınızın tümevarım adımı birden çok adımdan oluşuyor gibi gözüküyor. Bu şekilde detaylı iki üç 

*** 

Sizin tanımınıza gelirsek... Bence bu tanım da makul. Ama günün sonunda iş pratikte teorem kanıtlamaya gelince, sizin yaptığınız yukarıdan-aşağı tanımı değil üstteki aşağıdan-yukarı tanımı kullanmak zorunda kalacağımız için zaten denkliği kanıtlamak zorunda kalacağız. Bazen bir iki öğrenci çıkıyor "sonlu adımda elde edilme" kısmından rahatsız; onlara sizin yaptığınız tanımı söyleyip denkliğin nasıl kanıtlandığını anlatınca içleri rahatlıyor. 

*** 

Gelgelelim, matematikte tanımların kendi kendine referans verilmeden yapılması gerektiğini söylediğiniz ilk cümlenize katılmıyorum. 

Sonluötesi özyineleme teoremi (transfinite recursion theorem) matematiksel mantıkta, özellikle kümeler kuramında, vazgeçilmez bir araç. Bu noktada bazıları şunu düşünebilir: O tanımlarla (mesela ordinal toplaması) bu tanım "aynı" tanım değiller. Birinde içerisinde çalıştığımız biçimsel sistemin nesnelerine ilişkin tanım yapıyoruz, diğerinde kendisine ilişkin tanım yapıyoruz. 

Hayır yapmıyoruz! Herhangi bir model kuramsal tartışma, *eğer matematiksel olarak yapılacaksa*, başka bir biçimsel sistem içerisinde formalize edilmek zorundadır. Dolayısıyla ortada bir teori-metateori ayrımı vardır. Çoğu model kuramı kitabı, okuyucuya söylemese de, arka planda bir kümeler kuramını metateori olarak alır; zaten önermeler *kümesi*, formüller *kümesi*,... gibi laflar edilmesinin sebebi de budur. Bu durumda, yukarıda tanımını verdiğimiz önermeler aslında metateorimizin objeleriyle formalleştirilmiş nesneler. Mesela, Gödel kodlaması yaptıysak, yukarıdaki özyinelemede "önerme" olarak geçen her şey aslında metateorimizdeki bir sayı vs. Dolayısıyla önermeler üzerinde tümevarım yapmakla, sayılar üzerinde tümevarım yapmak özünde aynı şeyler; sadece objelere ilişkin bilişsel farklılıklardan ötürü farklı gibi algılayabiliyoruz. 

(Teori-metateori ayrımına ilişkin uzunca konuşurum ama gerek yok. Sadece bu konudaki olası kafa karışıklıklarını örneklemesi için bir MO cevabımı şuraya bırakayım: [ https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006 | https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006 ] ) 

Gereğinden çok uzattım. 

İyi çalışmalar, 

Burak Kaya 
On 17.11.2023 11:49, Zafer ERCAN wrote: 

Ali Nesin'in Önermeler Mantığı kitabı (2009 basım) üzerinden ''önerme tanımı'' konusunda ekte bir not var. 

ZE 

_______________________________________________
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. [ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: [ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye 
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20231119/eeb85cb0/attachment-0001.html>