[Turkmath:6276] Re: [TMD-UYE: 3831] Re: Önerme Tanımı- ''p ise q'' nun değeri

Mon Nov 20 11:58:08 UTC 2023

Burak hocamın açıklamaları '' 'gerçeklikten' kopuşların yeni semboller oyunu yaratacağını'' söylemese de bana bunu çağrıştırdı. 

Muhammed hocam, benim kitap dünyada gelmiş geçmiş en az sayfalı bir kitap, iki sayfadan oluşuyor; ön ve arka kapaklar: Daha doğrusu kitaptaki yanlışları çıkarırsak geriye 
sadece bu iki sayfa kalıyor. Eklemeyi önerdiğin şeyi kitabın neresine ekleyeyim? 
. 
Kitabın ön kapağını bu fırsatla hatırlatayım, işci Memed her zaman her zaman demiri sert bir şekilde işlemez, $x eleman y$'i de işler: 

ZE 

From: "muhammed uludag" <muhammed.uludag at listweb.bilkent.edu.tr> 
To: "Burak Kaya" <burakk at metu.edu.tr> 
Cc: "tmd" <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> 
Sent: Monday, November 20, 2023 2:34:08 PM 
Subject: [TMD-UYE: 3831] Re: Önerme Tanımı- ''p ise q'' nun değeri 

Burak hocam; F=>F önermesinin doğruluğu hakkında dilimizde akrabalık ilişkilerini sorgulayan bir vecizemiz vardır. Onu talebelere söylerseniz tıp diye anlarlar. Zafer hocam kitabına eklesin! 

On Mon, Nov 20, 2023 at 13:24 Burak Kaya < [ mailto:burakk at metu.edu.tr | burakk at metu.edu.tr ] > wrote: 

Düzeltme: Son dediğim şeyde, simetri son iki durumu açıklamıyor, sadece 1 1 durumundan 0 0 durumunu da çıkartıyor. Simetri argümanında 0 ise 1 durumu bir açıklama yok; onu B'yi yanlışlayamamak üzerinden anlatabiliriz. 

Tabii tüm bunlar yerine öğrencilere bunların tanım olduğunu, modellemeye çalıştıkları bir fenomen olmakla birlikte, insan zihnini aşkın bir gerçeklikten gelmediklerini, dolayısıyla farklı tanımlarla farklı bağlaçlar üretebileceklerini falan da söyleyebiliriz. 
On 20.11.2023 13:13, Burak Kaya wrote: 

BQ_BEGIN

Merhaba hocam, 

Açıkçası tedirginlik yaşamıyorum ama bunun sebebi sanıyorum ki bireysel perspektif: Biçimsel mantık insan zihninin gerekçelendirme sürecini modellemeye yarayan bir araç olarak ortaya çıkmışsa da, aradan geçen ~2300 yıldaki gelişmelerden sonra görüyoruz ki ortaya koyduğu araçlar çok temel sınırlamalara sahip oyuncak modeller. Hepsinin spesifik kullanım amaçları var, hiçbiri ilgili bağlamın dışında da anlamlı değiller. Mantık göklerde bir yerdeki ulvi bir gerçekliği bize vermiyor. 

Dolayısıyla günlük hayattaki "ise" sezgisinin klasik mantıktaki biçimsel bağlaç "ise" (material implication) ile uyuşmaması rahatsızlık verici değil. "ise" bağlacının günlük sezgimizle uyuşmamasının temel nedeni klasik mantıkta zaman ve nedensellik olmayışı gibi duruyor. Bunun önüne geçmek için farklı mantık sistemleri üretmek mümkün: "ise" için connexive logic ya da relevance logic, zamansallık için temporal logic vs. Bu mantık sistemlerinden biri diğerinde yapılamayan bir şeyi açıklıyor diye ona üstün değil. Burada sanıyorum ki anahtar kelime tarihsel bağlamı da göz önüne alırsak: Kullanışlılık. 

Matematiğin 20. yüzyıldaki temeli Aristoteles'in temelini attığı, Frege ile doğan, Tarski (ve Gödel) ile gelişen klasik birinci-derece mantık(taki kümeler kuramları.) Peki bu kişiler "ise" bağlacıyla ilgili sorunun farkında değiller miydi? Öylelerdi, material implicationın problemleri zaten biliniyor ( [ https://en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_material_implication | https://en.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_of_material_implication ] ). Demek ki tarihsel süreç matematikteki "A ise B" ile günlük hayattaki "A ise B" farkının matematik pratiği için önemli olmadığına kanaat getirmiş. Önemli olduğu noktada muhtemelen başka sistemlerin gelişimini göreceğiz. Buna konuyla teğet olarak alakalı başka bir örnek vereyim. Mesela matematiğin biçimselleştirmesi (formalization) önemli olmaya başladı gibi, yakın zamanda Terence Tao önemli bir sanının kanıtını Lean üzerinden biçimselleştirmeye karar verdi. Eğer matematik pratiği önümüzdeki 100 yılda buna yönelik evrilirse, bu sefer kümeler kuramını tipler kuramı ile değiştirmek zorunda kalacağız vs. 

*** 

Yukarıdaki cevap tabii ki "ise" bağlacını ilk defa öğrenen ve matematik tarihinden bihaber bir öğrenci için tatmin edici değil. Onlar sorduğunda nasıl cevaplıyorum onu söyleyeyim: Sizce "A ise B" hangi durumda yanlış olmalı? Buna en az bir kişi A doğru B yanlış olduğu durumda diyor. Hem A hem B doğruyken "A ise B"nin doğru olması gerektiği konusunda da çoğu hemfikir. Daha sonra da "A ise B" ile "B değilse A değilin" aynı olup olmaması gerektiğini soruyorum; buna genelde evet diyorlar çünkü "ise"nin günlük hayattaki anlamıyla bile bu böyle olmalı. Şimdi simetriden ötürü henüz doğruluk değerine karar vermediğimiz diğer iki durumdaki doğruluk değerine de olması gerektiği gibi karar verebiliyoruz. 

İyi çalışmalar, 

Burak Kaya 

P.S. Mesajı başka bir birinci-derece mantık "paradoksuyla" bitireyim: Öyle bir matematikçi vardır ki o matematikçi TMD mail listesine mesaj atarsa, her matematikçi TMD listesine mesaj atar. 

Bu cümle doğru. Neden? Çünkü klasik birinci-derece mantıkta ∃x(M(x)→∀y M(y)) ifadesi doğru. Peki kimdir bu kişi? 
On 19.11.2023 11:25, Zafer ERCAN wrote: 

BQ_BEGIN

Merhaba Burak hocam, 

Gereğinden kısa tuttuğunuz yanıtınız için çok teşekkürler. ''p ise q'' önermesinin doğruluk değeri için aşağıdaki gibi dolambaçlı bir fikir yürüttüm. Bu tür önermelenin doğruluk 
değerinin kullanılmasında bir tedirginlik yaşıyor musuz? 

Selamlar, 

Zafer. 

Hiçbir kimse uçak kullanmayı bilmeyen birinin kullandığı uçağa binmez. Ama bu davranışın "doğru" ya da "yanlış" olduğu da kanıtlanamaz! 
"Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa kullandığı uçağı düşürür" doğru ama (uçak kullanmayı bilmeyen birinin uçağı kullanmasının doğru olmayacağı varsayımı altında) "Ali uçak kullanmayı bilmiyorsa uçağı Ankara'dan New York'a başarılı bir biçimde uçurur" niye doğru? : 
p ve q iki önerme (yani doğru ya da yanlış olarak ifade edilen değerlerden sadece birini alan semboller) "p ise q" diye bir başka önerme üretir. Bu üretilen önermenin değeri p ve q'nın aldıkları değerlere bağlı olup, yanlış değer aldığının "kanıtlanamadığı" durum söz konusu olabilmekte ve bu durumda, bu önermenin değeri doğru kabul edilmektedir. Bu, günümüz hukukundaki "suçluluğu kanıtlanıncaya kadar suçsuzdur" ilkesine uyumludur. 
Ne demek istediğim "ne eker isen onu biçersin" üzerinden anlamlaştırılabiliniyor. 
Ama tuhaf durum da ortaya çıkıyor, örneğin pilotluk eğitimi almamış bir kişinin uçağı doğru bir şekilde uçurmuş olması ya da düşürmüş olması "doğru" oluyor. 
Tüm ifadele 

From: "Burak Kaya" [ mailto:burakk at metu.edu.tr | <burakk at metu.edu.tr> ] 
To: "tmd" [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> ] 
Sent: Friday, November 17, 2023 1:39:48 PM 
Subject: [TMD-UYE: 3822] Re: Önerme Tanımı 

Merhaba Zafer Hocam, 

Sizin yaptığınız tanım, yani önermeler kümesini belirli özellikleri sağlayan en küçük küme olarak tanımlamak, her ne kadar kendine referans vermediği için size daha makul gözükse de; işin pratiğinde Ali Hoca'nın yaptığı çoğu ders kitabındaki tanımla daha çok karşılaşılmasının sebebi şu: 

Önermeler mantığı (ya da birinci-derece mantık) kurulup bu sistemlerdeki önermeler (ya da formüller) tanımlandıktan sonra bunlarla ilgili teorem kanıtlamanın en temel yolu önermenin (ya da formülün) "karmaşıklığı üzerinde tümevarım" yapmaktır. Bu tanım bunun için daha uygun, ama daha da uygunu var: 

Önermeleri (ya da formülleri) tanımlamanın bence en pedagojik yolu şudur: 

(A) Mertebesi 0 olan formülleri tanımlarsınız. (Sizin attığınız durumda bunlar temel önermeler oluyor.) 
(B) Daha sonra mertebesi n+1 olan formüllerin mertebesi n olan formüllerden nasıl elde edileceğini ifade edersiniz. (Sizin attığınız durumda ii ve iii maddeleri bunu karşılıyor.) 
(C) Doğal sayılardaki özyineleme teoremi (recursion theorem) sonucunda varlığını kanıtladığınız fonksiyonun görüntüsü de önermeler ya da formüller kümeniz olur. 

Ali Hoca'nın kitabındaki iv maddesinde "bu kurallardan sonlu adımda elde edilebilir" diyerek yukarıdaki (C) maddesini halının altına süpürüyor. Daha doğrusu, "bu kurallardan sonlu adımda elde edilir" demek zaten tam olarak yukarıda yapılan şeyi yapmak demek! 

Tabii okuyucunun gözünü özyineleme teoremi gibi ifadelerle korkutmak istemiyorsanız okuyucunun bildiğini sandığı "sonlu adımda elde etmek" ifadesiyle sezgisel olarak anlamasını sağlayıp geçiştirmek yeterli. 

Önermeleri (ya da formülleri) yukarıda tarif ettiğim şekilde tanımladığınız zaman "karmaşıklık üzerinde tümevarım" yapmak öğrenciler için daha bariz oluyor: Bir özelliğin/eşitliğin tüm formüller için doğru olduğunu göstermek için tümevarımla mertebesi n olan tüm formüller için doğru olduğunu göstermek yeter. 

Matematiksel mantık dersleri veren birisi olarak söyleyebilirim ki öğrenciler formülleri bu şekilde mertebelerine ayırınca tümevarımı daha iyi anlıyor. Diğer türlü, sanki bildikleri tümevarımı örnekten sonra alışıyorlar; çoğu ders kitabındaki mertebeden bahsetmeyen "detaysız" anlatıma dönebiliyorsunuz. yapmıyoruz da yeni bir kanıt tekniği icat ediyormuşuz gibi davranıyorlar çünkü tümevarımınızın tümevarım adımı birden çok adımdan oluşuyor gibi gözüküyor. Bu şekilde detaylı iki üç 

*** 

Sizin tanımınıza gelirsek... Bence bu tanım da makul. Ama günün sonunda iş pratikte teorem kanıtlamaya gelince, sizin yaptığınız yukarıdan-aşağı tanımı değil üstteki aşağıdan-yukarı tanımı kullanmak zorunda kalacağımız için zaten denkliği kanıtlamak zorunda kalacağız. Bazen bir iki öğrenci çıkıyor "sonlu adımda elde edilme" kısmından rahatsız; onlara sizin yaptığınız tanımı söyleyip denkliğin nasıl kanıtlandığını anlatınca içleri rahatlıyor. 

*** 

Gelgelelim, matematikte tanımların kendi kendine referans verilmeden yapılması gerektiğini söylediğiniz ilk cümlenize katılmıyorum. 

Sonluötesi özyineleme teoremi (transfinite recursion theorem) matematiksel mantıkta, özellikle kümeler kuramında, vazgeçilmez bir araç. Bu noktada bazıları şunu düşünebilir: O tanımlarla (mesela ordinal toplaması) bu tanım "aynı" tanım değiller. Birinde içerisinde çalıştığımız biçimsel sistemin nesnelerine ilişkin tanım yapıyoruz, diğerinde kendisine ilişkin tanım yapıyoruz. 

Hayır yapmıyoruz! Herhangi bir model kuramsal tartışma, *eğer matematiksel olarak yapılacaksa*, başka bir biçimsel sistem içerisinde formalize edilmek zorundadır. Dolayısıyla ortada bir teori-metateori ayrımı vardır. Çoğu model kuramı kitabı, okuyucuya söylemese de, arka planda bir kümeler kuramını metateori olarak alır; zaten önermeler *kümesi*, formüller *kümesi*,... gibi laflar edilmesinin sebebi de budur. Bu durumda, yukarıda tanımını verdiğimiz önermeler aslında metateorimizin objeleriyle formalleştirilmiş nesneler. Mesela, Gödel kodlaması yaptıysak, yukarıdaki özyinelemede "önerme" olarak geçen her şey aslında metateorimizdeki bir sayı vs. Dolayısıyla önermeler üzerinde tümevarım yapmakla, sayılar üzerinde tümevarım yapmak özünde aynı şeyler; sadece objelere ilişkin bilişsel farklılıklardan ötürü farklı gibi algılayabiliyoruz. 

(Teori-metateori ayrımına ilişkin uzunca konuşurum ama gerek yok. Sadece bu konudaki olası kafa karışıklıklarını örneklemesi için bir MO cevabımı şuraya bırakayım: [ https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006 | https://mathoverflow.net/questions/248965/do-set-theorists-use-informal-set-theory-as-their-meta-theory-when-talking-about/249006#249006 ] ) 

Gereğinden çok uzattım. 

İyi çalışmalar, 

Burak Kaya 
On 17.11.2023 11:49, Zafer ERCAN wrote: 

BQ_BEGIN

Ali Nesin'in Önermeler Mantığı kitabı (2009 basım) üzerinden ''önerme tanımı'' konusunda ekte bir not var. 

ZE 

_______________________________________________
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. [ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: [ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
[ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
[ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

BQ_END

_______________________________________________
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. [ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: [ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

BQ_END

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
[ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
[ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

BQ_END

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye 
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20231120/44302b41/attachment-0001.html>