[Turkmath:6841] Re: [TMD-UYE: 4239] Re: karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum...

Mon Dec 2 13:06:50 UTC 2024

Burak hocam, 

herşeyden önce özenle ve acele etmeden yaptığınız açıklayıcı yazınız için teşekkür ederim. Burada kullandığım "kavga" kısmi olarak mizahı anlamda-sonsuz sevgilerimle gibi! Matematiğin kendisine bir çeşit düşünce kavgasıdır. 

Elbette seçim aksiyomunu kullanmamak bırakın vejetaryen olmayı, hiçbir hayvan ürünü yemeden yaşamak gibi olacaktır. Seçim aksiyomu olmadan- Hahn Banach teoremi olmaz (gerçi denk olmasalar da) ve dolayısıyla fonksiyonel analiz olmaz. Fonksiyonel analiz olmadan da matematik kanatsız bir kuş olacaktır. 

Reel sayıların her alt kümesi ölçülebilir kabulü altında da ölçüm teorisi yapılabilir ama bu olasılık teorisine bir yararı olmayabilir. 

Seçim aksiyomu olmadan sonsuzu sayı yapmanın zorlukları da olacaktır. 

Çoğaltılabilir. Tekrar teşekkürler. 

ZE 

Kimden: "Burak Kaya" <burakk at metu.edu.tr> 
Kime: "tmd" <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> 
Gönderilenler: 2 Aralık Pazartesi 2024 15:27:10 
Konu: [TMD-UYE: 4239] Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

Sayın Zafer hocam, 

Seçim belitini hangi matematikçiler reddediyor (ya da sizin deyiminizle hangi matematikçiler bu belitle kavga ediyor) emin değilim ama böyle matematikçiler varsa reddettiklerini söylediklerini şey hakkında muhtemelen pek bilgileri yok: Seçim beliti olmadan sadece ZF içerisinde çok şey yapmak pek mümkün değil. Analizi temel seviyede geliştirebilmek için bile, örneğin Lebesgue ölçüsünün sayılabilir toplamsallığını kanıtlamak için, seçim belitinin basit bir formu (örneğin DC, dependent choice) gerekli. (Zira ZF+"Gerçel sayılar sayılabilir tane sayılabilir kümenin birleşimidir" teorisi tutarlı.) Ya da sonsuz bir kümenin sayılabilir sonsuz bir altkümesi olduğunu söyleyebilmek için seçim belitinin basit bir formu (örneğin CC, countable choice). Bunun gibi onlarca örnek sıralanabilir... Dolayısıyla seçim belitinin DC ya da CC gibi basit formlarını bile kullanmadığını söyleyen bir matematikçi ya tamamen sonlucu bir matematik yapıyordur ya inşacı bir yaklaşım benimsemiştir ya da sezgisel olarak yaptığı argümanlar küme kuramsal bir sisteme aktarıldığında hangi belit gerekecek bilmiyordur. 

Artık 1900'lerin ilk yarısında yaşamıyoruz. Seçim belitiyle ilgili pek çok şey çözülmüş durumda, yurt dışındaki matematikçiler ve küme kuramcıları arasında da bununla ilgili pek bir "tartışma" olduğuna rastlamadım. Seçim belitinin ne zaman gerekip gerekmediğini öğrenmek isteyen ve belitle ilgili daha çok şey öğrenmek isteyen birisi sizin de referansını verdiğiniz Herrlich'in "Axiom of Choice" ve Jech'in "The Axiom of Choice" kitaplarını okuyabilir. Bunlar artık klasikleşmiş kitaplar. 

Bunun dışında bir iki düzeltme yapmak istiyorum: 

    * Fermat'nın son teoremi matematiksel mantıkçıların aritmetik önerme dediği türden bir önerme. Shoenfield mutlaklık teoreminin bir sonucu şu: Karmaşıklığı Sigma_2^1/Pi_2^1 olan bir önerme (ki böyle önermeler aritmetik önermeleri kapsar) eğer seçim beliti kullanılarak kanıtlanabiliyorsa, seçim beliti kullanılmadan da kanıtlanabilir. Dolayısıyla Fermat'nın son teoremini seçim beliti kullanmadan kanıtlamak mümkün. Ana fikir şu: Tüm argümanı Gödel'in inşa edilebilir evreni L içerisinde seçim beliti kullanmadan gerçekleştirebiliriz zira seçim belitinin L'de doğru olduğu bir aksiyom değil, bir teorem. Bu durumda teoremin ifadesinin "L'ye relativizasyonunu" ZF içerisinde kanıtlamış olacağız. Ancak Shoenfield mutlaklık teoreminden dolayı bu önerme L'de doğruysa kümeler evreni V'de de doğrudur. 
    * Köşe yazınızda Süreklilik Hipotezi'ni sanki Hilbert 23 probleminde ortaya attı gibi bir algı ortaya çıkıyor ama sizin de bildiğiniz üzere bu hipotez Cantor tarafından ortaya atılıyor. Hilbert 23 problemini ifade ederken 1. problemi olan Cantor'un süreklilik problemine ilişkin yazdığı kısmın ikinci yarısında bu problemin çözümüyle alakalı olduğunu düşündüğü bir problem olarak gerçel sayıların bir iyi sıralamasını bulma probleminden bahsediyor. Ancak Hilbert'in ifadesi gerçel sayıların iyi sıralamalarını bulmakla kısıtla, her kümenin iyi sıralamasını bulmakla değil. Dolayısıyla Hilbert'in bu problemleri ortaya koyarken Zermelo'nun iyi sıralama teoremi gibi bir şeyi düşündüğünden emin değilim: [ https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf | https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf ] 
    * Cantor 1874 makalesinde sadece rasyonel sayıların değil gerçel cebirsel sayıların sayılabilir olduğunu kanıtlıyor. Hatta bunun sonucunda transandantal sayı üretmek için bir süreç de ortaya koymuş oluyor. Kitaplar Cantor'un yaptıklarını aktarırken bu detayı atladığı için fırsat bulmuşken belirtmek istedim. 

Ana konuya dönersek... Seçim belitini kim neden reddediyor bilmiyorum ama bugüne kadar seçim belitine karşı makul bir argüman duymadım. 

    * Eğer Banach-Tarski paradoksu sizi rahatsız ediyorsa, Banach-Tarski paradoksunu ZF+Hahn-Banach teoremi içerisinde de kanıtlamak mümkün ( [ https://eudml.org/doc/211871 | https://eudml.org/doc/211871 ] ). Dolayısıyla Banach-Tarski paradoksunu çöpe atmak isteyen birisi analizin temel taşlarından birisini de çöpe atmalı. Kaldı ki Hahn-Banach teoremi seçim belitinden daha güçsüz bir önerme. Yani Banach-Tarski paradoksu için seçim belitinin tüm gücüne gerek yok. 
    * Eğer ölçülemez kümeler sizi rahatsız ediyorsa, ZF+DC+"Gerçel sayıların her alt kümesi Lebesgue ölçülebilir" belitleriyle "R kümesinin öyle bir A parçalanışı (partition) vardır ki A'nın kardinalitesi R'den daha büyüktür" önermesi kanıtlanabiliyor. Bence bir kümeyi sahip olduğu eleman sayısından daha çok sayıda parçaya ayırabilmek ölçülemez kümelerden daha patolojik bir şey değil. ( [ https://mathoverflow.net/questions/260057/axiom-of-choice-banach-tarski-and-reality/260118#260118 | https://mathoverflow.net/questions/260057/axiom-of-choice-banach-tarski-and-reality/260118#260118 ] ) 
    * Eğer her kümenin iyi sıralanabileceği önermesi size çok sezgi dışı geliyorsa, kanıtı ZF'de yapılabilen Hartogs teoremini okuyun. Herhangi X kümesi için bu X kümesine gömülmeyen bir α ordinali olduğunu kanıtlayabiliyorsunuz. Ancak bunun ardındaki sezgiyi anladığınızda şu resim karşınıza çıkıyor: Eğer α'yı X'e gömemiyorsam, bunun tek yolu α'nın elemanlarını X'in elemanlarıyla tek tek sayarken bir noktada X'in elemanlarını "bitirmiş" olmam lazım, bunu yaptığım en küçük nokta da X'e karşılık gelen ordinal/kardinal sayı olmalı. Bu tabii ki X'in iyi sıralanabileceğinin bir kanıtı değil, zaten olamaz da zira bu seçim beliti olmadan yapılamaz. Diğer taraftan "herhangi iki küme verildiğinde birinden diğerine birebir bir fonksiyon vardır" ifadesini aksiyom olarak alırsanız, X kümesi Hartogs sayısına gömülmek zorunda olacağından otomatik olarak iyi sıralanacak. Diğer bir deyişle, bu kanıt perspektifinden bakarsanız bir kümeyi iyi sıralamak çok da şaşırtıcı çok da matah bir şey değil. Altı üstü seçim belitinin bir küme diğerine gömülemiyorsa, diğeri bu kümeye gömülmek zorundadır formunu kullanıyor, ki bu formun sezgiselliği de bariz olmalı. 

En başa dönersek... Seçim belitine karşı çıkan matematikçiler kim bilmiyorum ama önce konudaki halihazırdaki bilgilerini daha sonra da argümanlarını duymak isterim. 

Bunun dışında, seçim belitinin lisansta öğretilip öğretilmemesinin önemli olduğunu düşünmüyorum. Sonuçta yerleştirme belitini (replacement axiom) kaç tane matematikçi ifade edebilir? %0.1? Öte yandan ZFC'nin asıl gücü yerleştirme belitinden geliyor... Ama matematikçiler yerleştirme belitinin ne olduğunu bilmeden hala matematik yapmaya devam edebiliyor, değil mi? Pekala matematikçiler, 100 yıldır olduğu gibi, seçim belitinin ne olduğunu bilmeden matematik yapmaya devam edebilirler. Farkında olmadan kullanacaklar, kullanmak zorundalar. Ama yanlış bir şey yapmadıkları sürece, diğer belitler ve mantık kuralları gibi, kullandıklarının farkında olmaları gerekmiyor. Bu belitlerin amacı zaten bir matematikçinin temel sezgisini formalize etmek, matematikçilerin amacı gökten zembille inen ZFC'ye tam olarak uyup neyi nerede kullandığının farkında olmak değil. 

Bundan önemlisi bence lisansta öğrencilere ZFC'den bağımsız olan önermeler olduğunu anlatmak. Örneğin, profesyonel matematikçiler saygın dergilerde genelleştirilmiş süreklilik hipotezinin (GCH) sonuçlarını "basit küme kuramsal gerçekler" olarak kullanıp makale basabiliyorlar. Seçim belitini çoğunluk kabul ettiği için farkında olmadan kullanmakta sorun yok da, CH ya da GCH gibi önermeler böyle şeyler değil. Burada farkındalık artırmak düzgün süreklilik kanıtında seçim beliti kullandık mı kullanmadık mı farkındalığı artırmaktan daha önemli diye düşünüyorum. 

Seçim belitiyle ilgili TMD e-posta tartışması nasıl ve ne için başladı emin değilim ama tekerleği (küme kuramcıların 20. yüzyılda çoktan çözüp ilerlediği şeyleri) yeniden keşfetmemize gerek yok. 

Herkese iyi çalışmalar, 

Burak Kaya 
On 2.12.2024 14:25, Zafer ERCAN wrote: 

Yılmaz hocam, 

Dikkatimi çekti: limitin tanımı epsilon-delta üzerinden verilirken seçim aksiyomu kullanılıyor, yanılıyor muyum? Bu, seçim aksiyomunu mümkün olduğu kadar reddetme 
eğiliminde olan sert matematikçiler için çok alan daraltıcı - armutun sapı üzümün çöpü - bir durum. 

Ayrıca, Fermat'ın son theoremini kanıtlayan Andrew Wiles da kanıtını seçim aksiyomunu kullanarak veriyor. 

Şükürler olsun ki Pisagor teoreminin kanıtında seçim aksiyomu kullanılmıyor. 

En iyisi seçim aksiyomuyla kavga etmemek! 

ZE 

From: "yilmaz akyildiz" [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | <yilmaz.akyildiz at gmail.com> ] 
To: "Zafer ERCAN" [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | <zercan at ibu.edu.tr> ] 
Cc: "Ayşe Uyar" [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | <ayseu at gazi.edu.tr> ] , "Ali Nesin" [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | <anesin at nesinkoyleri.org> ] , "Mustafa Polat" [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | <mpolat at yeditepe.edu.tr> ] , "turkmath" [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | <turkmath at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "tmd" [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "Zafer ERCAN" [ mailto:Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr | <Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr> ] 
Sent: Monday, December 2, 2024 12:06:37 PM 
Subject: Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

işte 
işte 
böyle böyle 
bu gibi abstract ve o seviyelerde anlaşılamayacak konularla meşgul ederek, 
epsilon - delta ispatları da buna dahil 
matematikçi olmak için can atan öğrencileri 
fizik veya mühendisliklere kaptırıyoruz 

On Mon, Dec 2, 2024 at 11:33 AM Zafer ERCAN < [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | zercan at ibu.edu.tr ] > wrote: 

BQ_BEGIN

Kapali ve sırlı aralığın kompakt olduğuda dahil olmak üzere bu ve benzeri yirmiye yakın temel Calculus teoremlerinin kanıtı P. Calrk'ın ''Real induction (2010)'' makalesinde ve Honors Calculus ders notunda var. Bu tür kanıtların daha öncesine Clark'ın bu notlarındaki referans izlriyle ulaşılabilir. 

Ayşe hanım, kitabınızın pdf'ini gönderebilir misiniz? 

ZE 

From: "Ayşe Uyar" < [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | ayseu at gazi.edu.tr ] > 
To: "Ali Nesin" < [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | anesin at nesinkoyleri.org ] > 
Cc: "Zafer ERCAN" < [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | zercan at ibu.edu.tr ] >, "Mustafa Polat" < [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | mpolat at yeditepe.edu.tr ] >, "yilmaz akyildiz" < [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | yilmaz.akyildiz at gmail.com ] >, "turkmath" < [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "tmd" < [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "Zafer ERCAN" < [ mailto:Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr | Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr ] > 
Sent: Monday, December 2, 2024 4:09:31 AM 
Subject: Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli fonksiyonun düzgün sürekli olduğunu seçim aksiyomunu ve kompaktlığı/tıkızlığı kullanmadan kanıtlayabiliriz. "Tek değişkenli analiz" adlı kitabımızda kanıtını vermiştik. Kanıtı kısaca özetleyeyim: 

f, [a, b] aralığında sürekli ve E={t\in [a,b]: f, [a,t] aralığında düzgün sürekli} olsun. 
1. adım: E boş kümeden farklıdır. 
2. adım: supE=c ise c\in E 
3. adım: c=b dir. 

Kanıt biraz uzun oluyor ancak lisans 1. sınıf öğrencisine seçim aksiyomuna ve açık örtü kavramına girmeden bir kanıt sunabiliyorsunuz. Seçim aksiyomu ve kompaktlık kavramlarının lisansın 3. veya 4. sınıflarında verilmesini daha uygun buluyorum. 1. sınıf analiz dersinde, her ne kadar "tadımlık" Lebesque integralinden bahsetsem de, sürekli fonksiyonların Riemann integrallenebilirliğini kanıtlamak için düzgün süreklilikten faydalanırdım. Bu nedenle, 1. sınıf öğrencilerine seçim aksiyomu ve kompakt uzay kavramı kullanılmadan düzgün süreklilikten bahsedilmesi gerektiğini düşünüyorum. 
Ayşe Uyar 

Kimden: "Ali Nesin" < [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | anesin at nesinkoyleri.org ] > 
Kime: "Zafer ERCAN" < [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | zercan at ibu.edu.tr ] > 
Kk: "Mustafa Polat" < [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | mpolat at yeditepe.edu.tr ] >, "yilmaz akyildiz" < [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | yilmaz.akyildiz at gmail.com ] >, "turkmath" < [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "tmd" < [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "Ayşe Uyar" < [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | ayseu at gazi.edu.tr ] >, "Zafer ERCAN" < [ mailto:Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr | Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr ] > 
Gönderilenler: 29 Kasım Cuma 2024 14:22:20 
Konu: Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

Söylediğin kitaptaki Proposition 3.14'e şimdi baktım. Aynen söylediğimi söylüyor. "Observation"a bak. 

Bunu sabahın köründe, senin mesajını almadan düşünmüştüm. İşte Whatsapp kanıtı: 

A 

29.11.2024 12:48 tarihinde Zafer ERCAN yazdı: 

BQ_BEGIN

Ali Nesin, numaralandırılmış açıklamalarını takip ederek yanıt vereceğim. 

1. ''neyse diyelim'' sadakana ihtiyacım yok, sadakanı kendi cebine at! İlgili yazımın birinci açıklamasına verdiğin yanıtı ekte ''seçim aksiyomu 1'' isimli 
ekteki açıklamayı oku sonra gerekli mi gereksiz mi oyle karar ver, ukalalık ederek ya da hınç alma fırsatcılığıyla yanıt verme. ''henüz öğrenmiş'' de değilim, bu kadar açık bir konuda da 
yanılıyorsun. İçime sindiremediğim konusunda haklısın.Öğrendiğimi zannettiğim her aşamada tekrar sorguluyorum. Bu konuda seviyemi merak edersen online üzerinden konuşma 
fırsatı oluşturabiliriz. Sizin 5'te biriniz kadar süreli bir konuşmaya hazırım. Muhattap olmam falan şımarıklığı falan çekme. 

2. Demişin ki her bildiğini kanıtlamak zorunda mısın? Bir öenek ver! ve öncelikle şunu söyle: Nereden bu kanıya vardın? Sen görüşlerine anlatınca olunca paylaşım, hizmet şu bu. başakasının anlatımı olunca ''kanıtlamak zorunda mısın?'' demek zorunda mısın? Haddini bil! Ayrıca ekteki seçim aksiyom 2 başlıklı yazıyı oku. Burada seçim aksiyomunun denkliklerinin genel kardinaliteler üzerinden ilk akla gelen bir anlama çabası olduğunu gör.. Ukalalık yapma. 

3 Bu konuda Horst Herrlich'in axiom of choice adlı kitabın Teorem 3.14'e bakabilirsin. 

Ali Nesin, kimin ne hizmet verdiğinin seviyesini belirleme şefliğinden kendini kurtar. Bir harf öğretenin kölesi olmayacağımız gibi matematik emekcisi Ali Nesin şeyhimizdir, diyecek de değiliz. 

Kısmen konu dışı olacak ama bilinmesi gereken iki yüzlülüğünü yüzüne çarpmadan edemeyeceğim: Bir taraftan Aziz Nesin adına verilen bir ödülü, ödülün verildiği alana giderek ve (Çiller ve benzerlerinin de ilgisini görmeyince de olsa) ''Tansu Çiller'e de verilen bir ödülü babam adına alamam'' diyerek sonuçta onurlu bir davranışta bulundun, diğer taraftan sermayenin başçakalı Koçların verdiği 100 bin dolar karşılığında Aziz Nesin ile Vehbi Koç aynı yolun yolcusuydu diyecek kadar küçüldün. 

Beni matematik köyü'nden kovma nedeninse, sende hep bir dert olacak! 

ZE 

From: "Ali Nesin" [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | <anesin at nesinkoyleri.org> ] 
To: "Zafer ERCAN" [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | <zercan at ibu.edu.tr> ] , "Mustafa Polat" [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | <mpolat at yeditepe.edu.tr> ] 
Cc: "yilmaz akyildiz" [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | <yilmaz.akyildiz at gmail.com> ] , "turkmath" [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | <turkmath at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "tmd" [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "Ayşe Uyar" [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | <ayseu at gazi.edu.tr> ] , "Zafer ERCAN" [ mailto:Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr | <Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr> ] 
Sent: Friday, November 29, 2024 1:56:30 AM 
Subject: Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

Zafer Ercan'ın bu son mesajını pek dikkate almayın derim. 

1) "Seçim aksiyomu sonlu kez uygulanarak ve bileşim aksiyomu kullanılarak küme ailesinin her elemanından sonlu eleman seçilerek ve onlardan oluşan bir küme elde edilebilir (yeterince eleman varsa elbet)." Bu kadar gereksiz bir cümleyi ancak Seçim Aksiyomu'nu henüz öğrenmiş ama yeterince sindirememiş bir öğrenci kurabilir. Neyse diyelim... 
2) "Bir tane ya da sonlu tane eleman seçmek yerine küme ailesinin her elemanı seçilerek bunlardan oluşan bir küme elde edilebilir ki bu, bileşim aksiyomuna karşılık gelir. Eleman seçimini sonlulukla sınırlı tutulmadan belirli bir kardinalite de seçilen eleman üzerinden Seçim aksiyomuna denkimsi bağlantılar bulunabilir." Saçmalığın dik âlâsı! Bildiğin konulardan bahset Zafer, ukalalık yapma. Dediğin her şey yanlış değil, ama açıklaman saçma, hatta absürt! Hele ilk cümlen, kurtarılacak tarafı yok! Bu konuları çok iyi bildiğini kanıtlamaya mecbur musun? Ben pek bilmem doğrusu, ama saçmalığa da göz göre göre izin veremem! 

3) "Seçim aksiyomunun kullanımına izin verildiğinde birçok kanıt çok daha kolay verilebilir, örneğin kapalı ve sinirli aralıkta tanımlı her sürekli fonksiyon düzgün süreklidir." Reellerin kapalı ve sınırlı aralıklarında tanımlanmış sürekli fonksiyonların düzgün sürekli olduklarının Seçim Aksiyomu'nu kullanmayan bir kanıtını doğrusu görmek isterim. Aşağıda Analiz IV kitabımdan bir kanıt var. O kanıtta her x_1 ve x_2 için bir y seçiliyor. Bu seçim Seçim Aksiyomu olmadan da yapılabilir gerçekten, y'yi x_1 ve x_2'nin orta noktasını almak yeterli olmalı. Peki Seçim Aksiyomu olmadan Lebegues sayısının varlığı nasıl kanıtlanıyor? İşte sana bildiğin bir konu. Bu konuda ahkam kes de bişeyler öğrenelim. 

Ali 

26.11.2024 21:29 tarihinde Zafer ERCAN yazdı: 

BQ_BEGIN

Seçim aksiyomunun belki de bilinen yüze yakın 
denki vardır. Bunların 7-8 tanesi bu aksiyomun 
tanım formundadır. Seçim aksiyomunda esas olan eleman seçmek değil, belirli bir kuralla seçilmemiş serseri elemanların uyumlu yaşayacakları bir yuva bulmaktır. 

Seçim aksiyomu sonlu kez uygulanarak ve bileşim aksiyomu kullanılarak küme ailesinin her elemanından sonlu eleman seçilerek ve onlardan oluşan bir küme elde edilebilir (yeterince eleman varsa elbet). 

Bir tane ya da sonlu tane eleman seçmek yerine küme ailesinin her elemanı seçilerek bunlardan oluşan bir küme elde edilebilir ki bu, bileşim aksiyomuna karşılık gelir. Eleman seçimini sonlulukla sınırlı tutulmadan belirli bir kardinalite de seçilen eleman üzerinden Seçim aksiyomuna denkimsi bağlantılar bulunabilir. 

Seçim aksiyomunun kullanımına izin verildiğinde birçok kanıt çok daha kolay verilebilir, örneğin kapalı ve sinirli aralıkta tanımlı her sürekli fonksiyon düzgün süreklidir. 

Türkiye'de matematikçiler çok bilmişliklerinden dolayı Seçim aksiyomuyla kavga ediyorlar ama tutmuyor! 

Evet, lisansda Seçim aksiyomu öğretilmez (tamam tamam Ali Nesin öğretiyordu!) Ama farkına varmadan başka bir biçimde öğretilir. 

Bu na karşın 85 milyondan oluşan Türkiye halkına Seçim aksiyomunu anlatacağım. 

Tanrı Türkü Korusun. 

ZE 

Kimden: "Mustafa Polat" [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | <mpolat at yeditepe.edu.tr> ] 
Kime: "yilmaz akyildiz" [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | <yilmaz.akyildiz at gmail.com> ] 
Kk: "turkmath" [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | <turkmath at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "tmd" [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "Ayşe Uyar" [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | <ayseu at gazi.edu.tr> ] , "Zafer ERCAN" [ mailto:Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr | <Zafer.Ercan at listweb.bilkent.edu.tr> ] , "Ali Nesin" [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | <anesin at nesinkoyleri.org> ] 
Gönderilenler: 26 Kasım Salı 2024 7:33:37 
Konu: Re: [Turkmath:6800] karadeniz aklı.. çalışmıyor 12 den sonra... Ek i eklemeyi unutmuşum... 

Kasten değildi ama ZE nin topla münasebeti feci idi. 

26 Kas 2024 Sal, saat 00:20 tarihinde yilmaz akyildiz < [ mailto:yilmaz.akyildiz at gmail.com | yilmaz.akyildiz at gmail.com ] > şunu yazdı: 

BQ_BEGIN

On Mon, Nov 25, 2024 at 11:35 PM Mustafa Polat < [ mailto:mpolat at yeditepe.edu.tr | mpolat at yeditepe.edu.tr ] > wrote: 

BQ_BEGIN

ZE nin toplara girişi gerçekten faullü. Bir keresin Aydın Aytuna yi sakatlamıştı. 

kasten yapmamıştır! 
ZE nin işi diliyle 
benim ismime mesela aldanmayın 
zafer in de ben gibi fizikman korkak olduğundan eminim. 
zaten erkekliğin %98 i kaçmak değil mi? 
erkek adam lar dırız vesselam! 

BQ_BEGIN

On Mon, Nov 25, 2024 at 9:54 PM yilmaz akyildiz < [ mailto:yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr | yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr ] > wrote: 

BQ_BEGIN

Ek için link vermekle yetineceğim: 
ekmek için ekmeleddin.. 

[ https://drive.google.com/file/d/1mdsEXQ88Xt6Dk66YizkQn84ahzjFIlfg/view?usp=sharing | https://drive.google.com/file/d/1mdsEXQ88Xt6Dk66YizkQn84ahzjFIlfg/view?usp=sharing ] 

---------- Forwarded message --------- 

Subject: ali ismini yazmamışmış, aziz nesin'in de ismini yazması gerekmiyordu.. 

zaten baba-oğul dergileri kendileri çıkarıyorlardı. 
bir de her kapatıldığında Baba Aziz yeni bir adla yoluna yılmadan devam etmiştir: 
marko paşa - malum paşa - meçhul paşa - öküz paşa - bizim paşa - merhum paşa: 

Benim nesil Akbaba ile büyüdü: 

gelelim ali nesin' e: 
12 senede törkiş Bourbaki yi yazdı: 

şuna bizzat şahidim: 
ilham kaynağı matematik se mazotu sek rakı idi. 
Bira varsa üstüne cilasını da çekerdi. 
(Bir ilham kaynağı daha var, zaten onsuz matematik olmaz!) 
Atatürk de sıhhatini idealleri için feda etmiş birisidir. 
Baba Nesin in ali'ye benim bildiğim iki nasihatı vardı: 
1. matematik köyü kur 
2. bırak şu zıkkımı, pek çok kıymetli dostumu ona kurban verdim. 
Paul Erdöş de Oxford da verdiği son konuşmasının bir yerinde 
birlikte ispatladıkları bir teoremden bahsederken bir an durup: 
"pek çok dahi meslektaşımı ya nikotine ya alkole ya da intihara kurban verdim" demişti. 
Arkadaşlar şunu ben Aziz Nesin'in ağzından bizzat duydum: 
"hayatımın sonuna yaklaşırken en büyük pişmanlığım, 
Atatürk'ü çok geç keşfetmiş olmam dır..! 
gözlerim artık iyi görmüyor. 
onun kitabını yazmak çok isterdim. 
artık çok geç". 
Bu konuşmayı Aziz Baba Boğaziçi Üniversitesinde o meşhur salonda yaptı 
ve en önde oturanlar başı bağlı kız öğrencilerimizdi. 
(Kaptan Attila İlhan da Divan Pastanesinde en çok ziyaretine gelenlerinin 
başı bağlı genç kızlarımız olduğunu söylemişti. 
Böyle de garip bir ülkemiz var bizim... başka yerde ben yaşayamam...) 

ZE demiş ki: 
" Ali Nesin imzalı olarak MD'nin herhangi bir sayısında Seçim beliti ve Zorn önsavı başlıklı bir yazı yer almamaktadır. Bunun yanında imzasız olarak 2006-2 sayısında bu başlıkta bir yazı yer almaktadır. " (Ek) . 

Yukarıda demek istediğim gibi Matematik Dünyasındaki o isimsiz yazıların hepsini ali nesin yazmıştır. 
Bunu ZE de bilir ama onun derdi başkadır.. 
Ayşe ile hoş (ama içeriği boş) vakit geçirmek... 
Yahu şu adamın gazını almayı sadece bana bırakmayın! 
Siz de girin topa..! 
Kaç defalar duydum bazılarınızdan şu meyanda sözler: 
"ZE çok defalar çok haklı, ama toplara girişi faullü, direk kırmızı kart.." 
kalın sağlıcakla 
y.a. 
Ek : Matematik Dünyası 2006-II den 40 sayfalık seçim aksiyomu vbg nin sadece ilk 3 sayfası. 
Hiç bir kitapta bu konu bu derece detaylı yazılmamıştır. 
Ayşe ve Zafer' e e özel teşekkürlerimizle, 
saylerinde neler öğrendik neler.. 
iki çeler bir meler... 
On Sun, Nov 24, 2024 at 11:07 PM AYSE UYAR < [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | ayseu at gazi.edu.tr ] > wrote: 

BQ_BEGIN

Zafer Bey, 

Yazı 2006 yılında yayınlanmış ise haklısınız, o yıllarda yüksek lisans öğrencisi değil, post doktora araştırmacısı idim. 2001 yılında doktorayı bitirdikten sonra (uygulanan mobing nedeniyle) yıllarca Araştırma görevlisi kadrosunda kaldım. Yardımcı doçent olduktan sonra derslerimde söz konusu yazıdan (genel olarak derginin pek çok yazısından) çok faydalandığımdan, söz konusu yazıyı yüksek lisans öğrencisi olduğum yıllarda okuduğumu hatırlıyordum. Hafızam beni yanıltmış. Bu önemli (!) düzeltme için teşekkür ederim. Özgeçmişimi bu kadar yakından bilmeniz de takdire şayan doğrusu. 
Selamlar 

Ayşe Uyar 

Kimden: "Zafer ERCAN" < [ mailto:zercan at ibu.edu.tr | zercan at ibu.edu.tr ] > 
Kime: "Ayşe Uyar" < [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | ayseu at gazi.edu.tr ] > 
Kk: "yilmaz akyildiz" < [ mailto:yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr | yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "tmd" < [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "turkmath" < [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "Ali Nesin" < [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | anesin at nesinkoyleri.org ] > 
Gönderilenler: 24 Kasım Pazar 2024 22:11:24 
Konu: Re: [TMD-UYE: 4201] Re: Ali Nesin den tekmili birden: Seçim Aksiyomu Üzerine 13 ders 

Ayşe hanım, 

Ali Nesin imzalı olarak MD'nin herhangi bir sayısında Seçim beliti ve Zorn önsavı başlıklı bir yazı almamaktadır. Bunun yanında imzasız olarak 
2006-2 sayısında bu başlıkta bir yazı yer almaktadır. Tahminim bahsettiğiniz yazı bu olmasına karşın, sizin öğrenciliğiniz bu tarihten 14 yıl önce 
sona ermiş olduğundan söz konusu yazıyı okumuş olsanız bile öğrenci iken okumuş olmanız söz konusu olamaz.. 

Saygılarımla. 

Zafer Ercan 

From: "Ayşe Uyar" < [ mailto:ayseu at gazi.edu.tr | ayseu at gazi.edu.tr ] > 
To: "yilmaz akyildiz" < [ mailto:yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr | yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr ] > 
Cc: "tmd" < [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "turkmath" < [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "Ali Nesin" < [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | anesin at nesinkoyleri.org ] > 
Sent: Saturday, November 23, 2024 9:00:45 PM 
Subject: [TMD-UYE: 4201] Re: Ali Nesin den tekmili birden: Seçim Aksiyomu Üzerine 13 ders 

Matematik dünyası dergisinde Ali Nesin'in Seçim beliti ve Zorn önsavı üzerine bir yazısı var. Henüz öğrenci iken okumuştum. Dergiler yanımda olmadığından, hangi sayı olduğunu bulamadım. Yılmaz hocanın paylaştığı linkte de çok güzel videolar var ama o sayıyı merak ettim. Bilenler listeye yazarsa memnun olurum. 

Aslında her şey dijital ortamda artık. Matematik dünyası dergisi de e-dergi çıkarıp, e-abonelik sistemiyle çalışsa güzel olur diye düşünüyorum. İsteyen yine dergi biçiminde alabilir. Öte yandan benim gibi pdf üzerinden okumayı severlerin çok işine yarayacaktır. Yüzlerce kitabı, makaleyi tablete indirip dağda bayırda okuyabilmek, sanırım bu çağdaki en önemli şansımız. Teknolojik imkanların dışında başka da kayda değer bir şeylerin olduğu bir çağda yaşamıyoruz maalesef. 

Son olarak, bu listenin bir de facebook grubu oluşturulsa güzel olur diye düşünüyorum. Pek çok açıdan daha kullanışlı bir ortam. 

Selamlar 

Ayşe Uyar 

Kimden: "yilmaz akyildiz" < [ mailto:yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr | yilmaz.akyildiz at listweb.bilkent.edu.tr ] > 
Kime: "turkmath" < [ mailto:turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] >, "tmd" < [ mailto:tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr | tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr ] > 
Kk: "Ali Nesin" < [ mailto:anesin at nesinkoyleri.org | anesin at nesinkoyleri.org ] > 
Gönderilenler: 23 Kasım Cumartesi 2024 20:35:23 
Konu: [TMD-UYE: 4200] Ali Nesin den tekmili birden: Seçim Aksiyomu Üzerine 13 ders 

[ https://www.youtube.com/c/NesinMatematikK%C3%B6y%C3%BCResmi/search?query=se%C3%A7im | https://www.youtube.com/c/NesinMatematikK%C3%B6y%C3%BCResmi/search?query=se%C3%A7im ] 

BQ_BEGIN
> On 22-11-2024 03:43, Ali Nesin wrote: 

> 1) Seçim Aksiyomu düzgün bir lisans eğitiminde bilinmesi gerekir. Ama 
> biraz fazla uçuk geldiği için pek önemsenmez. En azından benim deneyimim bu 
> yönde. 
> 
> 2) Zorn Önsavı Seçim Aksiyomu'ndan çok daha işlevseldir, özellikle 
> cebirde. Ya da şöyle diyeyim, Seçim Aksiyomu kullanılan yerler lisans 
> öğrencileri tarafından pek önemsenmez, ama Zorn Önsavı gerçekten her zaman 
> çok şaşırtıcı sonuçlar verir. Bir başka deyişle: Seçim Aksiyomu farkına 
> varmadan kullanılabilir (okura yutturabilirsin), ama Zorn Önsavı'nı farkına 
> varmadan kullanmak imkânsızdır. 
> 
> 3) Oysa Zorn Önsavı'yla Seçim Aksiyomu (bilindiği üzere) birbirine 
> denktir. İyi bir lisans öğrencisi kanıtını bilmese de bunu bilmeli. 
> 
> 4) Analizde Seçim Aksiyomu, sağda solda, orada burada hemen hiç 
> bahsedilmeden kullanılır. Arada bir bu hoyratlık cebirde de yapılır, ama 
> çok daha enderdir. Genel olarak analizciler Seçim Aksiyomu'nu hiç 
> sorgulamadan kabul ederler. Ayşe Uyar'ın verdiği örnek buna güzel bir 
> örnektir: eşmerkezli ve 1/n yarıçaplı her yuvardan bir eleman seçmek tabii 
> ki Seçim Aksiyomu'yla mümkündür ama analizciler bunu (haklı olarak aslında) 
> pek önemsemezler. Öte yandan cebirde mesela maksimal idealin varlığını 
> kanıtlamak için Zorn Önsavı'nı öğrencilerin gözüne sokmak zorundasın, yoksa 
> ayaklanıp isyan ederler. 
> 
> 5) Bilgi Üniversitesi'nde bütün bunları tüm ayrıntılarıyla birinci sınıf 
> öğrencilerime anlatıyordum/anlatıorduk. Felsefesiyle tabii ki. Bana ve bize 
> benzemelerini istemiyordum/istemiyorduk! Ne yazık ki 26 yıl süren Bilgi 
> efsanesi sona erdi. Şimdi benzer bir yapıyı korsan olarak Matematik 
> Köyü'nde kurmaya çalışıyorum. 
> 
> 6) Son olarak bir (A_i)_{i \in I} küme ailesinin matematiksel tanımını 
> vereyim. I ve X birer küme olsun. I'dan X'e giden bir f fonksiyonuna küme 
> ailesi denir! Bu kadar basit! Eğer i \in I için f(i) = A_i ise, (X'i yok 
> sayıp!) bu fonksiyonu (A_i)_{i \in I} olarak yazarız. 
> 
> Ali 

BQ_END

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
[ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
[ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

-- 

Bu e-posta mesajı ve içeriği gizli veya özel bilgiler içerebilir. Mesajın içeriğinde bulunan tüm fikir ve görüşler sadece göndericiye ait olup, Gazi Üniversitesi’nin resmi görüşünü yansıtmaz. Kurumumuz bu e-posta içeriğindeki bilgilerin kullanılması nedeniyle hiç kimseye karşı sorumlu tutulamaz. Mesajın belirlenen alıcılardan biri değilseniz, mesaj içeriğini ya da eklerini kullanmayınız, kopyalamayınız, yaymayınız, başka kişilere yönlendirmeyiniz ve mesajı gönderen kişiyi derhal e-posta yoluyla haberdar ederek bu mesajı ve eklerini herhangi bir kopyasını muhafaza etmeksizin siliniz. Kurumumuz size, mesajın ve bilgilerinin değişikliğe uğramaması, bütünlüğünün ve gizliliğin korunması konusunda garanti vermemekte olup, e-posta içeriğine yetkisiz olarak yapılan müdahale, virüs içermesi ve/veya bilgisayar sisteminize verebileceği herhangi bir zarardan da sorumlu değildir. 

This e-mail message and its content may contain confidential or proprietary information. All ideas and opinions contained in the message are solely those of the sender and do not reflect the official opinion of Gazi University. Our institution cannot be held responsible to anyone for the use of the information contained in this e-mail. If you are not one of the designated recipients of the message, do not use, copy, disseminate, forward the message content or attachments, and immediately notify the sender of the message via e-mail and delete this message and its attachments without retaining any copies. Our institution does not guarantee you that the message and its information will not be changed, its integrity and confidentiality will be protected, and is not responsible for any unauthorized intervention to the e-mail content, viruses and/or any damage it may cause to your computer system. 
_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
[ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
[ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

BQ_END

_______________________________________________ 
Turkmath mailing list 
[ mailto:Turkmath at listweb.bilkent.edu.tr | Turkmath at listweb.bilkent.edu.tr ] 
[ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/turkmath | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/turkmath ] 

BQ_END

BQ_END

BQ_END

BQ_END

[ https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient ] 	Virüs yok. [ https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient | www.avast.com ] [ https://mail.ibu.edu.tr/#m_1830330970004194533_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2 |   ] 

BQ_END

-- 

Bu e-posta mesajı ve içeriği gizli veya özel bilgiler içerebilir. Mesajın içeriğinde bulunan tüm fikir ve görüşler sadece göndericiye ait olup, Gazi Üniversitesi’nin resmi görüşünü yansıtmaz. Kurumumuz bu e-posta içeriğindeki bilgilerin kullanılması nedeniyle hiç kimseye karşı sorumlu tutulamaz. Mesajın belirlenen alıcılardan biri değilseniz, mesaj içeriğini ya da eklerini kullanmayınız, kopyalamayınız, yaymayınız, başka kişilere yönlendirmeyiniz ve mesajı gönderen kişiyi derhal e-posta yoluyla haberdar ederek bu mesajı ve eklerini herhangi bir kopyasını muhafaza etmeksizin siliniz. Kurumumuz size, mesajın ve bilgilerinin değişikliğe uğramaması, bütünlüğünün ve gizliliğin korunması konusunda garanti vermemekte olup, e-posta içeriğine yetkisiz olarak yapılan müdahale, virüs içermesi ve/veya bilgisayar sisteminize verebileceği herhangi bir zarardan da sorumlu değildir. 

This e-mail message and its content may contain confidential or proprietary information. All ideas and opinions contained in the message are solely those of the sender and do not reflect the official opinion of Gazi University. Our institution cannot be held responsible to anyone for the use of the information contained in this e-mail. If you are not one of the designated recipients of the message, do not use, copy, disseminate, forward the message content or attachments, and immediately notify the sender of the message via e-mail and delete this message and its attachments without retaining any copies. Our institution does not guarantee you that the message and its information will not be changed, its integrity and confidentiality will be protected, and is not responsible for any unauthorized intervention to the e-mail content, viruses and/or any damage it may cause to your computer system. 

BQ_END

_______________________________________________
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. [ mailto:TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr | TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr ] BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: [ http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye | http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye ] 

BQ_END

_______________________________________________ 
Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye olduğunuz için aldınız. 
TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr 
BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz: 
http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye 
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0001.html>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: wMaZFpDrzhJZxZVt.png
Type: image/png
Size: 108574 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0006.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: 0IVbnixqs4r4dKsr.png
Type: image/png
Size: 13227 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0007.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: GEIsuRuPA1aooGgb.png
Type: image/png
Size: 86272 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0008.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: image.png
Type: image/png
Size: 117539 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0009.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: image.png
Type: image/png
Size: 914107 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0010.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: image.png
Type: image/png
Size: 585643 bytes
Desc: not available
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20241202/487f07ba/attachment-0011.png>