[Turkmath:6713] Re: [TMD-UYE: 4147] Kompleks analize giriş I

[H. Turgay Kaptanoglu]

Merhaba,

E-postami gec okuyunca Sinan benden once yazmis.  Ben de gercel kismini 
ekleyeyim.
Fonksiyonu 0'da f(0)=0 diye tanimlarsak, f(x)=e^{-1/x^2} 'nin 
genisletilmis hali
gercel eksende surekli, hatta sonsuz kere turevli olur, yani 0'da bile.  
Uzun
uzun her n=0,1,2,... icin f^{(n)}(0)=0 oldugu hesap edilebilir.  Eger 
fonksiyonun
0'daki Taylor serisi acilimini yazarsak 0+0x+0x^2+...=0 olur.  Bu seri 
ise 0'i
iceren hicbir acik aralikta f'ye yakinsamaz.  Yani f, her yerde sonsuz 
kere
turevli olsa da, 0'in etrafinda kendisine yakinsayan Taylor serisine 
acilamaz.

=====
H. Turgay Kaptanoğlu
www.fen.bilkent.edu.tr/~kaptan/


On 12.11.2024 10:47, Ali Sinan Sertöz wrote:
> Kızım sana yazıyorum, Yılmaz sen oku! :)
> 
> Let z=sqrt( i/(2 n Pi) ). Then -1/z^2=2 n Pi i. (Here sqrt(-1)=i, and n 
> is any integer).
> 
> Then exp(-1/z^2)=1 for all integers n.
> 
> Clearly as n goes to infinity, z goes to zero.
> 
> Also as z goes to zero along the real line exp(-1/z^2) goes to zero.
> 
> So we have the two path test to show that exp(-1/z^2) is not continuous 
> at the origin.
> 
> Conclusion exp(-1/z^2) is not analytic at the origin.
> 
> Now fast forward: This function has an essential singularity at the 
> origin. In every punctured neighborhood of the origin it takes every 
> value, with at most one exception,  infinitely many times. This is Big 
> Picard theorem. In our case the exception value is zero.
> 
> Dersimiz bitti. Haftaya quiz yapacağım! :)
> 
> --
> ----------------------------------------------------------------------------
> 
> Ali Sinan Sertöz
> Bilkent Üniversitesi, Matematik Bölümü, 06800 Ankara
> Ofis Tel: (312) - 290 1490
> Bölüm Sekreterliği: (312) - 266 4377
> Fax: (312) - 290 1797
> e-posta: sertoz at bilkent.edu.tr
> Anasayfa: sertoz.bilkent.edu.tr <http://sertoz.bilkent.edu.tr/>
> ----------------------------------------------------------------------------
> 
> _______________________________________________
> Bu e-postayı Türk Matematik Derneği'nin TMD-UYE E-Posta Listesine üye 
> olduğunuz için aldınız.
> TMD-UYE at listweb.bilkent.edu.tr
> BU E-POSTA LİSTEDEN ÇIKMAK (UNSUBSCRIBE) VEYA ÜYELİK SEÇENEKLERİNİ 
> DÜZENLEMEK İÇİN aşağıda bağlantısı verilen sayfayı ziyaret ediniz:
> http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/tmd-uye