[Turkmath:7045] Re: Sınıfın Eşitlik tanımı üzerine

[Zafer ERCAN]

iki küme arasında tanımlanan eşitlik kavramının (aksiyom olmayan) tanımlanmasının temel nedeninin, x, y ve A kümeleri için, 
"x=y ve x, A'nın elemanıysa y'nin de elemanıdır" 

biçimindeki ifadenin sağlanmasına yönelik olduğu çıkarımındayım. Çeşitli biçimlerde verilen eşitlik aksiyomları tek başlarına bu talebi karşılamıyor. Bunun içinde ait olunan küme üzerinden tanımın verilmesini zorunlu kılıyor. 

Bu anlamda, kümeler için verilen bu biçimli tanım classlar için, en azından yaygın olarak, verilmiyor. Bunun temel nedenlerinden biri, proper classların bir classa ait olmasının tanımlanması girişiminde ortaya çıkan karmaşa sanırim!? Bu, pek talep edilen ve matematikde tartışılan bir konu olmadığını tahmin ediyorum. 

ZE 




Kimden: "Ali Nesin" <anesin at nesinkoyleri.org> 
Kime: "Burak Kaya" <burakk at metu.edu.tr>, "Zafer ERCAN" <zercan at ibu.edu.tr> 
Kk: "tmd" <tmd-uye at listweb.bilkent.edu.tr> 
Gönderilenler: 1 Mart Cumartesi 2025 20:09:39 
Konu: Re: Sınıfın Eşitlik tanımı üzerine 






Evet, Tanım 1.9'da sorun var gibi duruyor. 
O tanımı küme eşitliğinin tanımı gibi yapsak sanırım sorun ortadan kalkıyor: Two classes are equal iff they have the same elements. 
Zaten tanımı ilk gördüğümde şaşırmıştım, tuhaf gelmişti. 
A 






01.03.2025 13:06 tarihinde Burak Kaya yazdı: 




Merhaba hocam, 

Ben gözleminizde bir hata göremiyorum. Muhtemelen Pinter'ın gözden kaçırdığı bir typo ya da farkında olmadan yaptığı bir hata var. 

Aklıma gelen tek olasılık Pinter'ın çalıştığı sistemin eşitlik sembolü olmayan birinci derece mantık (FOL with equality) olması. Bu durumda 1.9 sistemimizde bir cümle değil, 1.9'da sağdaki ifade A=B ifadesi için belitsel sistemimizde sadece bir kısaltma. Yani 1.9'da sağdaki ifadeyi kanıtladığımızda informal olarak eşit diyoruz, diğer aksiyomlarda da eşitlik gördüğümüz yere bunu yazacağız vs. 

Ancak bu da bizi kurtarmıyor: Eğer Pinter'ın sistemi düzgün çalışıyorsa, A ve B yerine iki proper class (mesela A'yı tüm kümeler ve B'yi ordinaller) aldığımızda, eğer bunların proper class olduğunu kanıtlayabiliyorsak, sağdaki gerektirmeleri kanıtlayabilmemiz lazım; yine bahsettiğiniz çelişki ortaya çıkıyor. O zaman da bir ihtimal şunu düşündüm: Acaba eşitlik sembolü olmayan birinci derece mantıkta 1.9'daki ifadeyi eşitliğin tanımı, yani kısaltması, olarak aldığımızda klasik argümanlarla bunların proper class olduğunu kanıtlayamıyor muyuz? Böyle olduğuna pek olasılık vermiyorum ancak böyleyse de bu durumda da böyle bir belitsel sistemi kullanmamalıyız. 

Sonuç olarak, gözlemlediğiniz gibi yazan şeyde yazdığı haliyle bir sıkıntı var. 1.9'daki ifadenin kümeler için doğru olmasını bekliyoruz ama sınıflar için doğru olurlarsa dediğiniz gibi iki proper class eşit olmak zorunda kalıyor. 

Peki bu problemi nasıl çözeceğiz? 

Pinter'ın kitabını değil, küme kuramcılarının yazdığı ve bu alandaki eğitimde kullanılan klasik kitapları kullanarak: Kunen, Jech, Moschovakis vs. :) 

İyi çalışmalar, 

Burak Kaya 
On 3/1/2025 6:36 AM, Zafer ERCAN wrote: 

BQ_BEGIN

Pinter'in bilinen klasik Set Theory 

(link: h ttps://archive.org/details/charles-c.-pinter-2014-a-book-of-set-theory/page/n38/mode/1up) 

kitabı, küme teoriyi tanımsız "class" ve "membership" objeler üzerinden inşa ediyor. 

Birinci bölümün ikinci kısmının girişinde numarasız tanımda "element" ve aynı kısmın definition 1.48'de "set" tanımlanıyor olsa da bunlar birbirleriyle çakışıyor. 

Set olmayan class da Definition 1.48'de (standart olarak) "proper class" olarak tanımlanmakta. 

Definition 1.9 iki classın "eşit" olmasını tanımlıyor. (Aksiyom olarak değil!) Bu tanıma göre, herhangi iki proper class, "iff" bağlacıyla verilen tanımın sağ tarafında kalan önerme standart önermesel mantık içerisinde doğru olacağından, eşit oluyor. Bu da "eşitlik" üzerinden tek bir tane proper classın olacağı sonucunu çıkartıyor ki, bu, absurd ve standartlara da uygun değil. 

Yanılmıyorsam da yanıldığım noktayı göremediğim için sizlere sorma gereği duydum. İlgilenenlere şimdiden teşekkür ederim. 

ZE 






BQ_END


[ https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient ] 	Virüs yok. [ https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=emailclient | www.avast.com ] [ https://mail.ibu.edu.tr/#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2 |   ] 


Bolu Abant İzzet Baysal Ünivrersitesi

-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://yunus.listweb.bilkent.edu.tr/pipermail/turkmath/attachments/20250302/7499665d/attachment.html>